Averigüe si $f(x,y) = x^2-xy+4y^2$ tiene un máximo o un mínimo con una restricción

Question

Tengo una función $f(x,y)= x^2-xy+4y^2$ y la restricción: $x+y=1$ y me gustaría encontrar los extremos locales y globales. Utilicé el método del multiplicador de Lagrange y encontré que el único punto crítico con el que estoy tratando debe ser para $x=\frac34$ y $y= \frac14$ . Sin embargo, aquí es donde estoy un poco atascado. No sé realmente si se trata de un máximo/mínimo local o global, o incluso de uno de ellos. Intenté encontrar un resultado con la matriz hessiana, pero no obtuve ningún resultado. Tampoco creo que $\{x,y \in \mathbb R | x+y=1\}$ es compacto, así que no sé si mi función tiene o no un mínimo o un máximo en este dominio.

¿Qué puedo hacer aquí para terminar? ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Si escribe $y=1-x$ entonces

$$f(x)=x^2-x(1-x)+4(1-x)^2=6x^2-9x+4$$

que tiene un mínimo en $f_{min}=\frac{5}{8}$ y ocurre por $x=\frac{3}{4}$ .

Answer 2

Dejar $$f(x,y)=x^2-xy+4y^2$$ y $$y=1-x$$ así tendrás $$f(x,1-x)=x^2-x(1-x)+4(1-x)^2$$