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Teorema Ergódico Individual, Invariancia de la función límite

En su demostración del teorema ergódico Smorodinsky ( https://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0066089 ), asumiendo $(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ un espacio de probabilidad y $f\in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ argumenta lo siguiente: Dejemos que $a<b$ un par de números racionales. Pon: $$ A(a,b)=\{\omega\in\Omega:\lim\inf_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}S_n(\omega)<a<b<\lim\sup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}S_n(\omega)\}. $$ Hay un número contable de conjuntos $A(a,b)$ y $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}S_n(\omega)$ existe a.e. si todos tienen medida cero. Obsérvese que el conjunto $A(a,b)$ es invariable bajo $T$ es decir, si $\omega\in A(a,b)$ entonces $T\omega\in A(a,b)$ . Así, podemos limitarnos a $A(a,b)$ y considerar la función $g(\omega)=f(\omega)-b$ en este espacio. Aplicando el teorema ergódico máximo a esta situación se obtiene $$ \int_N g(\omega)d\mu=\int_N f(\omega)-b d\mu\geq 0 $$ donde $$ N=\{\omega:\sup_{n\in\mathbb{N}}:\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(T^i\omega)-b>0\}=\{\omega:\sup_{n\in\mathbb{N}}:\frac{1}{n}S_n(\omega)>b\}. $$ Obviamente, cada punto de $A(a,b)$ está en $N$ y como $A(a,b)$ es todo el espacio obtenemos $$ \int_{A(a,b)}f(\omega)d\mu\geq b\mu(A(a,b)). $$ Con un argumento similar obtenemos $$ \int_{A(a,b)}f(\omega)d\mu\leq a\mu(A(a,b)). $$ Por lo tanto, $\mu(A(a,b))=0$ . Denotemos ahora por $f^*$ la función límite, ya que $$ |\int_{\Omega}\frac{1}{n}S_n(\omega)d\mu|\leq \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\int_{\Omega}|f(T^i\omega)|d\mu=\int_{\Omega}|f(\omega)|d\mu $$ por el lema de Fatou la función límite está en $L^1(\Omega,\mathcal{F},\mu)$ . Demostremos la identidad $\int_{\Omega}f(\omega)d\mu=\int_{\Omega}f^*(\omega)d\mu$ . Considere el conjunto $B(a,b)=\{\omega\in\Omega:a<f^*(\omega)<b\}$ que es $T$ -invariante. Utilizando una vez más el teorema ergódico máximo podemos establecer $$ a\mu(B(a,b))\leq\int_{B(a,b)}f^*(\omega)\leq b\mu(B(a,b)) $$ y un fácil argumento de continuidad establecerá que $$ a\mu(B(a,b))\leq\int_{B(a,b)}f(\omega)\leq b\mu(B(a,b)). $$ Partición del espacio $\Omega$ por los conjuntos $B(\frac{k}{2^n},\frac{k}{2^{n+1}})$ donde $n$ es fijo y $k=0,\pm 1,\pm 2,...$ . Entonces $$ \int_{\Omega}f(\omega)d\mu=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\int_{B(\frac{k}{2^n},\frac{k}{2^{n+1}})} f(\omega)d\mu, \int_{\Omega}f^*(\omega)d\mu=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\int_{B(\frac{k}{2^n},\frac{k}{2^{n+1}})} f^*(\omega)d\mu. $$ Por lo tanto, $$ |\int_{\Omega}f(\omega)d\mu-\int_{\Omega}f^*(\omega)d\mu|\leq\frac{1}{2^n}\mu(\Omega). $$ Ahora tomando el límite $n\rightarrow\infty$ completa la prueba.

$\bf Question:$ Tengo la impresión de que el $T$ -invarianza de los conjuntos $A(a,b)$ y $B(a,b)$ son consecuencias de la $T$ -invarianza de la función límite $f^*$ y en el siguiente Corolario, donde Smorodinsky asume $T$ para que sea ergódica la prueba comienza así: "Como la función límite $f^*$ es invariable...". Sin embargo, esto no se demuestra aunque se afirma en el teorema. Por supuesto $$f^*(T\omega)-f^*(\omega)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(f(T^n\omega)-f(\omega)),$$ pero ¿cómo implica esto la $T$ - invarianza de $f^*$ ? ¡Cualquier ayuda será apreciada! ¡Muchas gracias de antemano!

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Davide Giraudo Puntos 95813

Para todos $\omega$ , $f\left(\omega\right)/n$ va a cero por lo que basta con demostrar que para casi todo $\omega\in\Omega$ , $f\left(T^n\omega\right) /n\to 0$ . Definir para un positivo $\varepsilon$ el evento $$ A_n:=\left\{\omega\in\Omega\mid \left\lvert f\left(T^n\omega\right)\right\rvert \gt n\varepsilon \right\}. $$ Desde $T$ conserva $\mu$ la medida de $A_n$ es igual a la de $B_n$ , donde $$ B_n:=\left\{\omega\in\Omega\mid \left\lvert f\left(\omega\right)\right\rvert \gt n\varepsilon \right\}. $$ Desde $f$ es integrable, la serie $\sum_{n\geqslant 1}\mu\left(B_n\right)$ converge por lo tanto también lo hace $\sum_{n\geqslant 1}\mu\left(A_n\right)$ . Por el lema de Borel-Cantelli, se deduce que para casi todo $\omega\in\Omega$ existe $N\left(\omega\right)$ tal que para todo $n\geqslant N\left(\omega\right) $ , $\omega\notin A_n$ Es decir, $\left\lvert f\left(T^n\omega\right)\right\rvert \leqslant n\varepsilon$ .

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