Si $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n\ $ es una serie condicionalmente convergente, entonces es $\sum\limits_{n=0}^{\infty} |a_n+a_{n+1}|\ $ ¿convergente?

Question

Si $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n\ $ es un condicionalmente convergente serie, ¿entonces la suma de la media de los términos consecutivos es necesariamente convergente?

En otras palabras, ¿es $\sum\limits_{n=0}^{\infty} |a_n+a_{n+1}|\ $ ¿convergente?

Para el ejemplo más estándar, la serie armónica alterna $\sum\limits_{n=0}^\infty {(-1)^n\over n+1},$ conseguimos que $\sum\limits_{n=0}^{\infty} |a_n+a_{n+1}|\ $ es la mitad de la suma de los números triangulares recíprocos, que sí convergen.

Pero, ¿toda serie condicionalmente convergente (pero no necesariamente de signo alterno) tiene esta propiedad, o hay alguna que diverge?

Siento que me estoy perdiendo algún truco obvio de desigualdad de triángulos, pero no lo veo.

Answer 1

No . Toma tu ejemplo, y mételo con la secuencia de todos los ceros: $$ a_{n} = \begin{cases} \frac{(-1)^{n/2}}{n+1} &\text{ if } n \text{ even}\\ 0 &\text{ if } n \text{ odd} \end{cases} $$