Es muy posible que resuelva esto y publique mi respuesta más abajo, pero quizás otros publiquen mejores respuestas antes de que yo llegue a eso. O después. $^\dagger$
El grupo de permutaciones de $\{a,b,c,d,e,f\}$ es generado por $15$ elementos de orden $2$ cada uno de los cuales es una transposición como ésta: $(a,b)$ . Por cada transposición de este tipo hay otras ocho con las que se solapa, como en el caso de $(a,b)$ y $(b,c)$ y otras seis con las que no se solapa, como en el caso de $(a,b)$ y $(c,d)$ . La composición de dos que se solapan da lugar a un $3$ -y la composición de dos que no se solapan da lugar a un elemento de orden $2$ .
El grupo de permutaciones de $\{a,b,c,d,e,f\}$ también es generado por $15$ elementos de orden $2$ cada una de las cuales es una composición de tres transposiciones como ésta: $(ab)(cd)(ef)$ . Para cada uno de estos generadores hay otros ocho con los que no se "solapa" en un sentido diferente al anterior, como por ejemplo $(ac)(be)(df)$ En este caso, "ovlerlapping" significaría tener un $2$ -ciclo en común; y hay otros seis con los que sí se "solapa", como en el caso de $(ab)(cd)(ef)$ y $(ab)(ce)(df)$ . La composición de dos que no se solapan da lugar a una composición de dos $3$ -ciclos; la composición de dos que se solapan da lugar a una composición de dos $2$ -ciclos.
Lo anterior es el principio del hecho de que un cierto tipo de biyección del primer conjunto de $15$ generadores al segundo se extiende a un automorfismo exterior del grupo de todos los $720$ permutaciones de $S_6$ .
Así que me fijé en ciertas composiciones de tres generadores. Componiendo de izquierda a derecha: \begin{align} (ab)(ac)(ad) & = (abcd) \\ (ab)(ac)(ae) & = (abce) \\ (ab)(ac)(af) & = (abcf) \\[10pt] (ab)(ac)(bc) & = (ac) \end{align}
- Dado que los dos primeros se solapan en $a$ Hay tres opciones de una tercera que se superponen en $a$ y en cada caso el resultado es un $4$ -ciclo. Sólo hay una opción de un generador que se superpone con ambos de manera diferente, y el resultado es otro generador.
Así que me pregunté: ¿qué hecho de la segundo ¿el conjunto de generadores se corresponde con el párrafo anterior? Dados dos generadores que no se superponen, deberíamos esperar cuatro posibles elecciones de un tercero que no se superponga a ninguno de ellos; en tres casos la composición de los tres debería dar un elemento de orden $4$ y en un caso un elemento de orden $2$ que es uno de los $15$ generadores. Cuando la materia se expresa en que manera, no es difícil encontrarlos: \begin{align} \Big((ab)(cd)(ef)\Big)\Big((ac)(be)(df)\Big)\Big((ad)(bf)(ce)\Big) & = (acbe) \\ \Big((ab)(cd)(ef)\Big)\Big((ac)(be)(df)\Big)\Big((ae)(bd)(cf)\Big) & = (bfde) \\ \Big((ab)(cd)(ef)\Big)\Big((ac)(be)(df)\Big)\Big((af)(bc)(de)\Big) & = (adfc) \\[10pt] \Big((ab)(cd)(ef)\Big)\Big((ac)(be)(df)\Big)\Big((af)(bd)(ce)\Big) & = (ac)(be)(df) \end{align} Así que deberíamos tener otro párrafo con viñetas paralelo al anterior:
- Dados los dos primeros pares de generadores no solapados, hay tres opciones de un tercero no solapado con ellos de forma que el resultado sea un $4$ -ciclo. Sólo hay una opción de un generador que falla de manera diferente para superponerse con ambos, y el resultado es otro generador.
Pero (¡y esta es mi pregunta!) ¿qué significa "fallar de forma diferente para solaparse con ambos"? $$\begin{array}{cccccccc} \phantom{------------------------} \\ \hline \end{array}$$ $\dagger$ Ya he publicado mi propia respuesta, pero quizá alguien tenga alguna idea que yo no tenga.
