Supongamos que $k$ es un campo.
Cómo demostrar que la abelianización de $GL_2(k)$ es $GL_1(k)$ ?
Lo mismo ocurre con $GL_n(k)$ .
¿Podemos decir lo mismo, si sustituimos $k$ con $\mathbb Z$ ?
Para cualquier campo $k$ la abelianización de $GL_n(k)$ es $k^{\ast}$ excepto en el caso de $n=2$ y $k=\mathbb{F}_2$ o $\mathbb{F}_3$ . Creo que esto está en Lang's Álgebra , Capítulo XIII secciones 8 y 9. (Digo que creo porque me estoy basando en los libros de google aquí, y algunas páginas clave están perdidas).
EDITAR: Acabo de revisar esta antigua respuesta, y la abelianización de $GL_2(\mathbb{F}_3)$ es $\mathbb{F}_3^{\times}$ también, así que $GL_2(\mathbb{F}_2)$ es el único contraejemplo. Creo que lo que estaba pensando cuando escribí esto es que la abelianización de $SL_2(\mathbb{F}_3)$ en no trivial.
Pero si $SL_n(\mathbb Z)$ es su propio conmutador, podemos reducir el módulo $2$ y $3$ y concluir lo mismo para $F_2$ y $F_3$ ¿No?
Lo siento, debería haber sido más claro en que esta declaración es para los campos. Como dices, si supiéramos que $SL_2(\mathbb{Z})$ fuera su propio conmutador, entonces se seguiría que $SL_2(\mathbb{F}_p)$ fue para cada $p$ por lo que esto demuestra que $SL_2(\mathbb{Z})$ NO es su propio conmutador.
Como señala HenrikRueping, el mapa determinante $\det:\textrm{GL}_n(k) \longrightarrow k^\ast$ factores a través de la abelianización $\textrm{GL}_n(k)_{ab}$ de $\textrm{GL}_n(k)$ . El morfismo inducido $\textrm{GL}_n(k)_{ab} \longrightarrow k^\ast$ puede demostrarse que es un isomorfismo como sigue. Es claramente suryectivo. Por lo tanto, tenemos que demostrar la inyectividad. Para ello, hay que mostrar que cada elemento de $\textrm{SL}_n(k)$ es un conmutador.
Para $n=2$ Pensé que uno podría generar $\textrm{SL}_2(k)$ con las dos matrices
$$\left( \begin{array}{cc} 1& 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$$
$$\left( \begin{array}{cc} 0& 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)$$
Así que si sólo demuestras que son conmutadores, ya está hecho, ¿no?
Jim señala que estas matrices no generan $\textrm{SL}_2(k)$ pero $\textrm{SL}_2(\mathbf{Z})$ .
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$\det$ es un homomorfismo de $GL_n(R)\rightarrow k^*=GL_1(R)$ para cualquier anillo conmutativo $R$ . Para ver que es realmente un isomorfismo tenemos que demostrar que toda matriz con determinante $1$ puede escribirse como un producto de conmutadores. Así que tenemos que encontrar un sistema generador para $SL_n(k)$ y demostrar que cada uno de ellos es un conmutador. Esto debería ser posible para los anillos euclidianos. Quizás quieras leer el artículo de la wikipedia sobre la teoría K algebraica.