Para qué valores de x la serie $1+\frac{x}{3}+\frac{x^2}{5}+\frac{x^3}{7}+\cdot\cdot\cdot$ ¿converger?

Question

Para qué valores de x la serie $1+\frac{x}{3}+\frac{x^2}{5}+\frac{x^3}{7}+\cdot\cdot\cdot$ ¿converger?

La solución dice:
El término general es de la forma $u_n(x)=\frac{x^{n-1}}{(2n-1)}$ y por lo tanto $$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\frac{|x^n|}{(2n+1)}\cdot\frac{(2n-1)}{|x^{n-1}|}$$ ------edit start------- $$=\frac{(2n-1)}{(2n+1)}\cdot\frac{|x^n|}{|x^{n-1}|}$$ ------ editar fin ------- $$=\frac{(2n-1)}{(2n+1)}|x|$$ claramente
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=|x|$$

Mi pregunta es:

1. ¿Cómo se pasa de $1+\frac{x}{3}+\frac{x^2}{5}+\frac{x^3}{7}+\cdot\cdot\cdot$ a $u_n(x)=\frac{x^{n-1}}{(2n-1)}$ ?
2. ¿Por qué la restricción absoluta sólo se aplica al $|x^n|$ y $|x^{n-1}|$ en la siguiente línea y no al resto de la ecuación?
3. y por último, pasamos de $=\frac{(2n-1)}{(2n+1)}\cdot\frac{|x^n|}{|x^{n-1}|}$ a $=\frac{(2n-1)}{(2n+1)}|x|$ Es decir, ¿cómo $\frac{|x^n|}{|x^{n-1}|}=|x|$ en la siguiente línea? (Tengo entendido que una vez que se aplican los límites, que $\frac{(2n-1)}{(2n+1)} = 1$ )

Edita
He añadido una línea a la ecuación que no estaba antes y he aclarado mi última pregunta.

Answer 1

Permíteme que me ocupe primero de tus segundas y terceras preguntas, ya que son más fáciles. Para (2), no es necesario poner signos de valor absoluto alrededor de $2n-1$ o $2n+1$ porque ambas expresiones ya son no negativas: $n\ge 1$ . Para (3), la línea en cuestión hace no dicen que $\frac{|x^n|}{|x^{n-1}|}=|x|$ Dice $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=|x|\;.$$ Observe el límite: ¡es esencial! Esto se puede ampliar de la siguiente manera: $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{2n+1}|x|=|x|\lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{2n+1}=|x|\cdot 1=|x|\;,$$ desde $|x|$ es una constante con respecto al límite sobre $n$ .

Ahora veamos tu primera pregunta. Usted tiene la serie $1+\frac{x}{3}+\frac{x^2}{5}+\frac{x^3}{7}+\dots$ y quiere saber cómo determinar que el $n$ -año, $u_n(x)$ es $\frac{x^{n-1}}{2n-1}$ . En primer lugar, ten en cuenta que, independientemente de que hayas podido resolverlo tú mismo, puedes comprobar fácilmente que es correcto. La fórmula da $\frac{x^{1-1}}{2\cdot1-1}=\frac11=1$ para el primer término, lo cual es correcto. Cada vez que se incrementa $n$ por $1$ en la fórmula de $u_n(x)$ el exponente en el numerador aumenta en $1$ y el denominador aumenta en $2$ ya que eso es exactamente lo que ocurre en la serie $1+\frac{x}{3}+\frac{x^2}{5}+\frac{x^3}{7}+\dots$ y como la fórmula acierta el primer término, debe obtener cada término derecho.

¿Cómo se le ocurriría la fórmula a usted mismo? Puedes observar que los exponentes del numerador aumentan en $1$ cada término; eso sugiere algo así como $x^n$ . Sin embargo, el exponente del primer término es $0$ que en el segundo término es $1$ y así sucesivamente: el exponente es siempre uno menos que el número del término, por lo que el numerador de la $n$ -th es en realidad $x^{n-1}$ . Los denominadores son $1,3,5,7,\dots$ , aumentando en $2$ cada vez. Esto sugiere que el denominador es algo así como $2n$ que aumenta en $2$ cada vez $n$ se incrementa en $1$ . Pero esto haría que los denominadores $2,4,6,8,\dots$ exactamente uno más de lo que queremos, así que restamos uno: el denominador de la $n$ -el término es $2n-1$ . Y eso nos da la fórmula: el $n$ -el término es $\frac{x^{n-1}}{2n-1}$ .

Answer 2

1. Están definiendo los términos de su suma. $u_1(x)=\frac{x^{1-1}}{2-1}=1$ y $u_2(x)=\frac{x^{2-1}}{4-1}=\frac{x}{3}$ y $u_3(x)=\frac{x^{3-1}}{6-1}=\frac{x^2}{5}$ y así sucesivamente.

2. $|u_n|=\left|\frac{x^n}{2n+1}\right|$ pero como $2n+1>0$ porque estamos tratando con enteros positivos, entonces podemos quitar el valor absoluto alrededor de ellos, lo que resulta en $|u_n|=\frac{|x^n|}{2n+1}$ un razonamiento similar para $u_{n+1}$

3.Reglas básicas de los exponentes para la división y un poco de reglas del valor absoluto $\frac{|x^n|}{|x^{n-1}|}=\frac{|x|^n}{|x|^{n-1}}=|x|$

Answer 3

$$\frac{x^0}{1}+\frac{x^1}{3}+\frac{x^2}{5}+\frac{x^3}{7}+\cdot\cdot\cdot$$

Puedes ver el patrón, en el numerador es: $$x^0, x^1, x^2, x^3, \dots, x^{n-1}$$ Y en el denominador, son los números de impar: $$1, 3, 5, 7, 9, \dots, 2n-1$$

Por lo tanto, lo es:

$$u_n(x)=\frac{x^{n-1}}{(2n-1)}$$

Mientras que todos los números Impares son positivos ( $n>0$ ), puede sacarlos del absoluto y $2n+1$ producen la misma serie de números que $2n-1$ que son los números de impar:

$$\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=\frac{|x^n|}{\color{red}{(2n+1)}}\cdot\frac{\color{red}{(2n-1)}}{|x^{n-1}|} = \frac{|x^n|}{|x^{n-1}|}=|\frac{x^n}{x^{n-1}}|=|x|$$

Por lo tanto: $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=|x|$$