Encontrar la relación de las diagonales en un trapecio

Question

Dejemos que $ABCD$ sea un trapecio con $AB \parallel CD$ y $m(\measuredangle BAD) = \frac{\pi}{2}$ . También sabemos que $2AB = CD$ y $AC \perp BD$ . Encuentre $\frac{AC}{BD}$ .

Utilizando el teorema de Pitágoras encontré lo siguiente: $$\left( \frac{AC}{BD} \right)^2 = \frac{AD^2 + 4AB^2}{AD^2 + AB^2}$$ $$AC^2 + BD^2 = 2AD^2 + 5AB^2$$

Eso es todo lo que pude encontrar. No sé cómo proceder a partir de este punto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $BE||AC$ y $BF\perp CD$ . Entonces, en el triángulo $EBD$ $DB\perp BE$ y $CF=FD=CE=AB=x$ .

$$BF^2=DF \cdot EF =x \cdot 2x = 2x^2$$ Entonces $BF=\sqrt2 x$

$$BE=AC=\sqrt{2x^2+4x^2}=\sqrt6 x$$ $$BD=\sqrt{x^2+2x^2}=\sqrt3x$$ Entonces $$\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt6}{\sqrt3}=\sqrt2$$

Answer 2

Sólo para complementar la respuesta anterior, que no explica por qué $BF^2=DF\cdot EF$ . Esto se debe a que $\triangle DBE\sim \triangle DFB (AAA)$ que da $$ \frac{BF}{BE} = \frac{DF}{BD} = \frac{BD}{DE} $$ Por lo tanto, $$\begin{aligned} BF^2 &= BD^2-DF^2\\ &=DF\cdot DE-DF^2\\ &=DF(DE-DF)\\ &=DF\cdot EF \end{aligned} $$ Finalmente de nuevo por similitud de los dos triángulos, $$ \frac{AC}{BD} = \frac{BE}{BD} = \frac{BF}{DF} =\frac{\sqrt{DF\cdot FE}}{DF}= \frac{\sqrt{2DF^2}}{DF} = \sqrt{2} $$