Convergencia de la integral mediante el teorema de Cauchy

Question

Siempre he pensado que las integrales de la forma $\int_0^{x_0} \frac{dx}{x^d}$ para $d\geq1$ no convergen. Sin embargo, durante un cálculo, una integral de este tipo (con $d=2$ ) apareció y realmente necesitaba evaluarlo de alguna manera. Esto es lo que pensé:

• dado que, para $d=2$ si la integral es par, podemos escribirla como (añadiendo también un factor de convergencia) $$ \int_0^{x_0} \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{2} \lim_{\delta \rightarrow 0} \int_{-x_0}^{x_0}\frac{dx}{(x-i\delta)^2}$$
• Ahora, dejemos que $x\in \mathbb{C}$ y utilizar el teorema de Cauchy para el polo situado en $x=i\delta$ $$ \int_{-x_0}^{x_0}\frac{dx}{(x-i\delta)^2} = 2\pi i Res\big[(x-i\delta)^{-2},x=i\delta\big] - \int_{\Gamma} \frac{dx}{(x-i\delta)^2} $$ donde el contorno es $\Gamma = \{x_0e^{i\theta}, \theta \in [0,\pi] \} $
• De hecho, el residuo se evalúa como cero. Para la integral que falta, déjame realizar el cambio de variables $x=x_0e^{i\theta}$ y $dx= ix_0e^{i\theta} d\theta$ , de tal manera que
  $$\int_{\Gamma} \frac{dx}{(x-i\delta)^2} = ix_0 \int_0^\pi d\theta \ \frac{e^{i\theta}}{x_0^2e^{2i\theta} - 2i\delta x_0e^{i\theta} - \delta^2} = ix_0 \int_0^\pi d\theta \ \frac{1}{x_0^2e^{i\theta} - 2i\delta x_0- \delta^2e^{-i\theta}}$$
• Una primitiva para el último integrando es $$\frac{i}{e^{i\theta}x_0^2-i\delta x_0}$$ lo que implica $$\int_{\Gamma} \frac{dx}{(x-i\delta)^2} = \frac{2x_0}{x_0^2+\delta^2}$$
• Por lo tanto, la unión de todos estos resultados parece implicar que $$ \int_0^{x_0} \frac{dx}{x^2} = - \frac{1}{x_0}$$ ¿Puede alguien decirme qué he hecho mal? Porque estoy bastante seguro de que esto debería divergir, pero no puedo encontrar el paso equivocado aquí.

Answer 1

Aunque el $x$ en esta respuesta puede trasladarse a lo largo del eje imaginario de la de la pregunta, las integrales son las mismas. Aquí están los contornos involucrados:

El contorno rojo es el reverso de $[-L-i\delta,L-i\delta]$ . Teorema de Cauchy dice que la integral a lo largo de los contornos rojo, verde y azul es $0$ . Por lo tanto, obtenemos $$ \begin{align} \overbrace{\int_{-x_0}^{x_0\vphantom{0}}\frac1{(x-i\delta)^2}\,\mathrm{d}x}^{-\frac{2x_0}{x_0^2+\delta^2}} &=\overbrace{\int_{-x_0}^{-r\vphantom{0}}\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x}^{\frac1r-\frac1{x_0}} +\overbrace{\int_{-\pi}^0\frac1{\left(re^{i\theta}\right)^2}ire^{i\theta}\,\mathrm{d}\theta}^{-\frac2r} +\overbrace{\int_r^{x_0\vphantom{0}}\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x}^{\frac1r-\frac1{x_0}}\tag1\\ &+\underbrace{\int_0^\delta\frac{i}{(-x_0-it)^2}\,\mathrm{d}t+\int_0^\delta\frac{-i}{(x_0-it)^2}\,\mathrm{d}t}_{\frac{2\delta^2}{x_0\left(x_0^2+\delta^2\right)}}\tag2 \end{align} $$ La integral del medio a la derecha de $(1)$ (el arco de medio punto) utiliza $z=re^{i\theta}$ que se evalúa como $$ \begin{align}\int_{-\pi}^0\frac1{\left(re^{i\theta}\right)^2}ire^{i\theta}\,\mathrm{d}\theta &=\frac ir\int_{-\pi}^0e^{-i\theta}\,\mathrm{d}\theta\\ &=\left.-\frac1re^{-i\theta}\right]_{-\pi}^0\\ &=-\frac2r\tag3 \end{align} $$ Las integrales en $(2)$ consisten en las dos integrales azules de los extremos. Podemos utilizar $$ \frac{i}{(-x_0-it)^2}+\frac{-i}{(x_0-it)^2}=\frac{4x_0t}{\left(x_0^2+t^2\right)^2}\tag4 $$ y $$ \int_0^\delta\frac{4x_0t}{\left(x_0^2+t^2\right)^2}\,\mathrm{d}t =\frac{2\delta^2}{x_0\!\left(x_0^2+\delta^2\right)}\tag5 $$

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La integral a lo largo de la curva semicircular

Un problema es la integral a lo largo del semicírculo. Para un polo de grado $1$ la integral a lo largo de un arco alrededor del polo es igual al residuo por $i$ veces el ángulo del arco alrededor de la singularidad. Se trata de un polo de grado $2$ y mientras que la integral a lo largo de un círculo alrededor del polo es $2\pi i$ veces el residuo, no podemos utilizar un círculo parcial como podemos con un polo de grado $1$ .

Nótese que arriba, el residuo en $0$ es $0$ pero la integral a lo largo del semicírculo es $-2/r$ , que explota como $r\to0$ .

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La primera ecuación de la respuesta

Además, como $$ \int_{-x_0}^{x_0}\frac{dx}{x^2}\ne\lim_{\delta\to0}\int_{-x_0}^{x_0}\frac{\mathrm{d}x}{(x-i\delta)^2}\tag6 $$ la primera ecuación de la respuesta no se cumple. El recorrido de la integral de la izquierda pasa por la singularidad, por lo que no podemos aplicar el Teorema de Cauchy.