En la ecuación diofantina: $ a^2+b^2=c^2+d^2 $ Sé que las soluciones están parametrizadas por $ (a,b,c,d)=(pr+qs, qr-ps,pr-qs,ps+qr) $ donde $p,q,r,s \in {Z}$ son arbitrarios. Me ha costado mucho resolver $(p,q,r,s)$ lo que significa escribirlos como una combinación de los enteros $a,b,c,d$ ). ¿Pueden ayudarme a encontrar la solución?
Respuesta
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eljenso
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Para empezar sugeriría eliminar cualquier factor común de todos los $a,b,c,d$ y luego al final se puede multiplicar cada uno de $p,q,r,s$ por ese factor eliminado.
Desde su configuración $(a,b,c,d)=(pr+qs, qr-ps,pr-qs,ps+qr)$ sigue $$pr=(a+c)/2 \\ qs=(a-c)/2 \\ qr=(d+b)/2 \\ ps=(d-b)/2 \tag{1}$$ Primero vemos que debemos tener $a,c$ ambos pares o ambos Impares, y lo mismo para $b,d$ . Esto lo puede hacer simplemente porque puede cambiar $a,b$ en la ecuación $a^2+b^2=c^2+d^2$ o cambiar de forma similar $c,d$ .
Ahora bien, observe que al mirar digamos $pr$ y $qr$ sabemos que $r$ es un factor común de los dos lados derechos de (1). No sé si esto siempre funciona, pero parece que una opción es hacer $r$ igual al gcd de esos dos lados derechos. Entonces, una vez $r$ se decide, los otros valores $p,q,s$ se puede encontrar a partir de las ecuaciones $(1)$ .
Si observa que, por ejemplo, los lados derechos de las ecuaciones de $pr,qr$ resultan ser coprimos, entonces conozca que debe ser $r=\pm 1$ (no es necesario probar ambos signos, ya que el negativo sólo lleva a cada uno de $p,q,r,s$ que les cambien los carteles).
He aquí un ejemplo en el que no había ningún lado derecho coprimo. Consideremos $$7^2+22^2=23^2+2^2.$$ Obtenemos $pr=15,\ qs=-8,\ qr=12,\ ps=-10.$ De esto sólo sabemos $r$ es un divisor de $3$ , $s$ es un divisor de $2$ , $p$ es un divisor de $5$ y $q$ es un divisor de $4$ . Eso deja técnicamente un montón de combinaciones para probar, la mayoría sin llegar a ninguna parte. Pero empezando por ejemplo con $r$ siendo un divisor de $3$ y decidiendo tomarlo como realmente igual a $3$ (es decir $\gcd(15,12)$ ) calculamos entonces $p=5,\ q=4,\ s=-2$ y esta elección de $p,q,r,s$ de hecho conduce de nuevo a $(a,b,c,d)=(7,22,23,2).$
AÑADIDO: Se puede llegar a la parametrización utilizando el "hecho de la fracción" que si $r,s$ son enteros positivos y la fracción $r/s$ está en forma reducida $p/q$ con $\gcd(p,q)=1$ y $p,q$ positivo, entonces hay un único número entero positivo $k$ tal que $r=kp,\ s=kq.$
Así que mirando las ecuaciones $(1)$ observamos que ya hemos asumido que $a,c$ son iguales mod $2$ como son $b,d$ . Podemos cambiar de bando si es necesario y asumir también $a>c,d>b$ por lo que, si escribimos $w,x,y,z$ para los cuatro lados derechos en $(1)$ en ese orden, tenemos $wx=yz$ después de $a^2+b^2=c^2+d^2,$ y cada uno de $w,x,y,z$ es positivo.
Ahora desde $w/y=z/x=p/q$ con $p,q$ positivo y coprimo, podemos aplicar el hecho de la fracción para definir $w=rp,y=rq,z=sp,x=sq.$ Entonces tenemos $$ a=w+x=pr+qs,\\ b=y-z=qr-ps,\\ c=w-x=pr-qs,\\ d=z+y=ps+qr.$$ Esto coincide con la forma requerida. Tenga en cuenta que si originalmente cada uno de $a,b,c,d$ es impar podemos cambiar algunos términos y obtener valores de parámetros posiblemente diferentes para obtener la misma solución. En otras palabras, la parametrización puede no ser única.
