Truco para obtener el tensor de tensiones en cualquier teoría de la

Question

En D. Tong notas sobre la teoría de cuerdas (pdf) en la sección 4.1.1, explica un truco para la obtención de la tensión tensor de energía que surge de las traducciones en la base del colector de la teoría de campo (en este caso el worldsheet). El problema es que no entiendo exactamente cómo el procedimiento funciona. Necesito vistazo a algunos ejemplos de dimensionamiento.

¿Alguien puede compartir algunas referencias en las que puedo leer acerca de esto en detalle, tal vez con algunos ejemplos desarrollados?

EDITAR: Tal vez debería explicar un poco más de donde estoy parado.

Generalmente, para obtener el tensor de inercia de energía nos hace una traducción en la base del colector, decir $x^\mu$ en el habitual QFT notación. $$x^\mu\to x'^\mu=x^\mu+\epsilon^\mu$$ sin cambiar el campo de una manera directa: $$\phi(x)\to \phi'(x')=\phi(x)$$ $$\Rightarrow \delta\phi(x)=-\epsilon^\mu\partial_\mu\phi(x)$$ Así, en la variación de la acción es $$\delta S=\int_R d^4 x [\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\partial_\mu\phi}\delta\partial_\mu\phi]+\int_{\partial R}d\sigma_\mu \mathcal{L}\epsilon^\mu$$ donde la segunda integral proviene del cambio de las variables de $x\to x'$. Así, después de la integración por partes la primera integral obtenemos de Euler-Lagrange las ecuaciones que dan a cero y nos quedamos con $$\int_{\partial R}d\sigma_\mu [\mathcal{L}\epsilon^\mu-\frac{\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu \phi}\epsilon^\nu\partial_\nu \phi(x)]=\int_{\partial R}d\sigma_\mu J^\mu$$ donde $J^\mu=\mathcal{L}\epsilon^\mu-\frac{\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu \phi}\epsilon^\nu\partial_\nu \phi(x)$ tiene que ser conservada por la imposición de las $\delta S=0$. De $J$ extraemos la energía de la tensión tensor: $$\Theta^{\mu\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\partial_\mu \phi}\partial^\nu \phi-\mathcal{L}\eta^{\mu\nu}$$ Por lo tanto, aún en QFT notación, lo que explica Tong es promover la $\epsilon$ a una función de $x$, de modo que la superficie de la integral (usando el teorema de Stokes): $$\delta S=\int_Rd^4x \partial_\mu J^\mu=\int_Rd^4x \partial_\mu( \Theta^{\mu\nu}\epsilon_\nu)=\int_Rd^4x [\partial_\mu( \Theta^{\mu\nu})\epsilon_\nu+ \Theta^{\mu\nu}\partial_\mu\epsilon_\nu]$$ pero esto no es exactamente lo mismo que la eq. 4.3.

Answer 1

El truco está dada en la ecuación 4.4 del artículo adjunto:

La primera pareja de la teoría de la gravedad, (mediante la introducción de un tensor métrico en la integración de la medida y para cada uno de los índices de fondos) la obtención de la acción:

$S = \int_M d^4x \sqrt{-g} \mathcal{L}$

Luego variar la acción con respecto a la métrica tensor:

$T_{\alpha\beta} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S}{\delta g^{\alpha\beta}}$

A continuación, reemplace el tensor métrico por un plano para volver a la teoría original. El estrés resultante de la energía tensor se llama Belinfante - Rosenfeld tensión tensor de energía.

El Belinfante - Rosenfeld estrés-tensor de energía no es igual a la canónica de estrés-tensor de energía correspondiente a las traducciones (derivado del teorema de Noether) , pero se diferencia por la divergencia de un anti-simétrica 3-tensor, por lo tanto se conserva siempre la canónica se conserva.

El 3-tensor es la canónica conservadas de la corriente correspondiente a la simetría de Lorentz. Por lo tanto para spinless campos, tanto los tensores serán iguales.

El Belinfante - Rosenfeld estrés-tensor de energía es considerada generalmente como el mejor, ya que siempre es simétrica y invariante gauge.

El razonamiento de por qué ambos métodos dan el mismo estrés de energía tensores ("hasta un total de divergencia), es la siguiente:

Cuando uno covariantizes la teoría, se convierte en invariantes bajo diffeomorphisms. Por lo tanto la variación de la acción con respecto a la diffeomorphisms se desvanece. Ahora, esta variación se compone a partir de la la variación debida a la (materia) de los campos y la variación debida a la métrica. En el espacio plano de la variación debida a los campos es la canónica de Noether actual, debido a las traducciones, por lo tanto la variación con respecto a la métrica debe cancelar esta contribución. Por lo tanto, si hacemos variar con respecto a la métrica, el mantenimiento de los campos fijos, obtenemos la misma variación con un signo opuesto.

La sutileza de la no obtención de la misma tensión-energía tensor se explica en el siguiente artículo por: Gotay y Marsden. Este artículo contiene algunos ejemplos de la derivación de la simétrica (Belinfante - Rosenfeld ) el estrés de la energía tensor. Por favor, véase también el siguiente artículo por Falsificador y Romer para más explicaciones y ejemplos.