Quiero demostrar lo siguiente:
Dejemos que $\left(W,\leq\right)$ ser un conjunto bien ordenado. Si $W_{a}$ es el orden isomorfo a un ordinal para todo $a\in W$ alors $W$ es isomorfo a un ordinal.
Aquí $W_a$ es la notación para el conjunto $\left\{ x\in W:x<a\right\} $ .
He revisado la prueba y parte de ella implica el uso del Axioma de Reemplazo. Como referencia, aquí está la versión del Axioma de Reemplazo que estoy usando:
Para dos conjuntos cualesquiera $x$ y $y$ , dejemos que $P\left(x,y\right)$ sea una frase relativa a $x$ y $y$ que puede expresarse completamente en términos de los símbolos $=$ , $\in$ , $\lnot$ , $\land$ , $\lor$ , $\Rightarrow$ , $\Leftrightarrow$ , $\forall$ , $\exists$ y las variables que representan conjuntos. Sea $X$ sea un conjunto. Supongamos que se cumple la siguiente condición se cumple: Si $x$ , $y$ y $z$ son conjuntos tales que $x\in X$ y el frases $P\left(x,y\right)$ y $P\left(x,z\right)$ son verdaderos, entonces $y=z$ . Entonces existe un conjunto único $Y$ tal que $y\in Y$ si y sólo si existe un conjunto $x\in X$ tal que $P\left(x,y\right)$ es cierto.
En primer lugar, ¿es exacta esta versión? ¿Estoy expresando el axioma correctamente?
Así es como uso el axioma en la prueba:
El resultado es evidente si $W$ está vacío, por lo que supondremos que $W$ es no está vacío. Para dos conjuntos cualesquiera $a$ y $b$ , dejemos que $P\left(a,b\right)$ sea la frase " $a\in W$ , $b$ es un ordinal, y $W_{a}$ es el orden isomorfo a $b$ ". Si $a$ , $b$ y $c$ son conjuntos tales que $a\in W$ y las frases $P\left(a,b\right)$ y $P\left(a,c\right)$ son verdad, entonces $b$ y $c$ son de orden isomorfo. Dado que dos ordinales cualesquiera que son isomorfos son iguales, tenemos $b=c$ . El axioma de Sustitución implica entonces que existe un conjunto único $Y$ tal que $b\in Y$ si y sólo si existe un conjunto $a\in W$ tal que $P\left(a,b\right)$ es cierto. Entonces $\left(Y,\leq\right)$ es un conjunto bien ordenado. Definir una función $f:W\rightarrow Y$ como sigue. Sea $a\in W$ . Entonces existe un único número ordinal $b$ tal que $W_{a}$ es de orden isomorfo a $b$ . Como acabamos de ver, $b\in Y$ . Establecer $f\left(a\right)=b$ .
¿He utilizado correctamente el axioma de sustitución en la prueba anterior?
