$k[{X_1},\cdots,{X_m}]$ no es isomorfo a $k[{X_1},\cdots,{X_n}]$ si $m\neq{n}.$

Question

Estoy tratando de probar esto. Supongamos que $k$ es un campo y que $k[{X_1},\cdots,{X_r}]$ denota el anillo de polinomios en $r$ variables con coeficientes en $k$ . Si ${\phi}:k[{X_1},\cdots,{X_m}]\rightarrow{k[{X_1},\cdots,{X_n}]}$ es un isomorfismo de anillo tal que ${{\phi}|_k}={({\rm{}id})_k}$ (la restricción de $\phi$ a $k$ es el mapeo de identidad), entonces debe darse el caso de que $m=n$ . No sé cómo enfocar esto porque no sé si se puede decir algo sobre el conjunto $\{{\phi{(X_1)}},\cdots,{\phi{(X_m)}}\}.$ ¿La imagen de este conjunto está contenida en $\{{X_1},\cdots,{X_n}\}$ ? Si es así, entonces $\phi$ al ser una biyección obligará a $m=n$ . Gracias.

Answer 1

Hay muchas maneras de hacerlo formalizando la idea intuitiva de que el espectro $\text{Spec } k[x_1, \dots x_n]$ , también conocido como afín $n$ -espacio $\mathbb{A}^n$ tiene dimensión $n$ . Por ejemplo, puede

1. calcular que el grado de trascendencia del campo de fracciones sobre $k$ es $n$ .
2. calcular que el Dimensión de Krull es $n$ (algo más difícil).
3. calcular que la dimensión de la Espacio tangente de Zariski en cualquier $k$ -punto es $n$ (más fácil).

Todos estos son invariantes de isomorfismo.

También se puede trabajar muy directamente en el nivel de los polinomios asumiendo que $m > n$ y mostrando que $\phi : k[x_1 \dots x_m] \to k[x_1, \dots x_n]$ no puede ser inyectiva encontrando un polinomio no nulo en el núcleo. El argumento es una generalización de esta respuesta de math.SE .

Answer 2

SUGERENCIA:

Considere una $k$ -morfismo de $k[x_1, \ldots,x_m]$ a $k[x_1, \ldots, x_n]$ , $x_i\mapsto a_i(x_1, \ldots, x_n)$ , $i=1,\ldots, m$ .

Supongamos que el mapa es sobreyectivo. Entonces existe $P_1$ , $\ldots$ , $P_n$ polinomios en $m$ variables $a_1$ , $\ldots$ , $a_m$ para que $$P_j(a_1(x_1,\ldots, x_n), \ldots, a_m(x_1, \ldots, x_n)) = x_j$$ Utilizando la regla de la cadena obtenemos para los jacobianos $$\frac{\partial P}{\partial a}(a(x)) \cdot \frac{ \partial a}{\partial x}(x)=(\delta_{ij})\ (=I_n) $$

por lo que el rango de ambos factores de la matriz debe ser $n\le m$ .