¿Por qué $\frac{d}{d\theta} \left(\theta\prod\limits_{i=1}^nx_i\right) = \sum\limits_{i=1}^n\ln x_i$

Question

¿Es sólo la regla del producto? Tengo esto en mis notas pero no pensé nada en ello y ahora me pregunto cómo sucede esto?

Editar: Estoy trabajando con la estimación de máxima verosimilitud y en mis notas tengo que la función de verosimilitud $=L(x;\theta)=\prod_{i=1}^nf(x;\theta)$ donde $x$ es la variable y $\theta$ es el parámetro de una distribución de probabilidad. Para estimar me dijeron que tomamos el logaritmo de la función de verosimilitud, es decir $\ln(L)$ y luego tomar su derivada para estimar el parámetro. La función con la que estoy trabajando es $f(x;\theta)=(\theta +1)x^{\theta}$ . Así que $$ L(x;\theta)=\prod_{i=1}^n(\theta +1)x_i^{\theta}=(\theta+1)^n\prod_{i=1}^nx_i^{\theta}. $$ Ahora $$ \ln(L(x;\theta))=n*\ln(\theta+1)+\theta \ln\left(\prod_{i=1}^nx_i\right). $$ Aquí es donde estoy confundido, tengo en mis notas que $$ \frac{d(\ln L)}{d\theta}=\frac{n}{\theta+1}+\sum_{i=1}^n\ln(x_i). $$ ¿Por qué el producto de $x_i$ se convierten en la suma de $x_i$ ?

Answer 1

$$ \ln(a\cdot b) = \ln(a) + \ln(b) $$ Esta es una propiedad fundamental de los logaritmos. Así que vamos a utilizar $$\prod_{i=0}^n x_i = P_n$$ entonces tenemos $$ \ln\left(\prod_{i=0}^n x_i\right) = \ln\left(x_n\prod_{i=0}^{n-1} x_i\right) = \ln(x_n) + \ln\left(\prod_{i=0}^{n-1} x_i\right) = \ln(x_n) + \ln(P_{n-1}) $$ utilizando la inducción o simplemente viendo un patrón se encuentra que tenemos $$ \ln\left(\prod_{i=0}^n x_i\right) = \sum_{i=0}^n\ln x_i $$

Answer 2

$$ \ln(L(x;\theta))=n*\ln(\theta+1)+\theta \ln\left(\prod_{i=1}^nx_i\right)$$

$$=n*\ln(\theta+1)+\theta \ln\left(x_1x_2...x_n\right)$$

$$\stackrel{(*)}{=}n*\ln(\theta+1)+\theta [\ln(x_1) + \ln(x_2) + ... + \ln(x_n)]$$

$$=n*\ln(\theta+1)+\theta \sum_{i=1}^n\ln(x_i)$$

$$ \to \frac{d(\ln L)}{d\theta}=\frac{n}{\theta+1}+\sum_{i=1}^n\ln(x_i) $$

$(*)$ Para los números reales $x_1, x_2, ..., x_n > 0$ tenemos

$$\ln\left(x_1x_2...x_n\right)=[\ln(x_1) + \ln(x_2) + ... + \ln(x_n)]$$