¿Cuántos elementos del campo finito $\mathbb{F}_{256}$ con 256 elementos satisfacen $x^{103}=x$ ?
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maira hedge
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Lorin Hochstein
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Un grupo multiplicativo finito contenido en un campo (de hecho, en un dominio) es siempre cíclico. En particular, el subgrupo multiplicativo de elementos no nulos de $F_{256}$ es cíclico, de orden $255 = 3\times 5\times 17$ .
Si $A$ es cíclico de orden $k$ et $d|k$ , entonces el conjunto de elementos cuyo orden divide $d$ forman un subgrupo; deben formar el único subgrupo cíclico de orden $d$ . Si $\ell$ no divide $k$ entonces los elementos de orden que dividen $\ell$ son precisamente los elementos de orden que dividen $\gcd(\ell,k)$ .
Se buscan los elementos tales que $x^{102}=1$ (bueno, y $0$ ...) Ahora, $\gcd(102,255) = 51$ .
Recordaremos sobre la solución $x=0$ al final. Para los demás, queremos resolver $x^{102}=1$ . El grupo multiplicativo de elementos no nulos de nuestro campo es cíclico. Sea $g$ sea un generador.
Tenga en cuenta que $x^{102} =1$ si $x^{\gcd(102,255)}=1$ . Este $\gcd$ est $51$ .
Dejemos que $x=g^k$ , donde $0\le k \le 254$ . Entonces $x^{51}=1$ si $g^{51k}=1$ . Este es el caso si $255$ divide $51k$ es decir, si $5$ divide $k$ .
Así que sólo tenemos que contar los múltiplos de $5$ entre $0$ y $254$ . A continuación, añada $1$ .
David HAust
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Sugerencia $\ $ El grupo multiplicativo de $\rm\ \Bbb F_{256}\:$ es cíclico de orden $255,$ por lo que es isomorfo a $\:\Bbb Z/255,\:$ donde $\rm\:x^{102} = 1\:$ se convierte en $\rm\:102\, x\, \equiv\, 0\iff255\:|\:102\,x\iff 255\:|\:(255,102)\,x\, =\, 51\,x\iff 5\:|\:x,\: $ que tiene soluciones $\rm\:x\, \equiv\, 5\,\{0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ 50\},\:$ para un total de $\,$ _ _ $\,$ soluciones.
Nota: $\ $ Obsérvese cómo el uso $\:\Bbb Z/n\:$ como modelo canónico de un grupo cíclico de orden $\rm\:n\:$ sirve para reducir grupo teoría a número teoría.
