Fórmula de reducción del cálculo

Question

Para cualquier número entero $k > 0$ , muestran la fórmula de reducción $$\int^{2}_{-2} x^{2k} \sqrt{4-x^2} \, dx = C_k \int^{2}_{-2} x^{2k-2} \sqrt{4-x^2} \, dx$$ para alguna constante $C_{k}$ .

( imagen original )

Pensé que esto sería bastante sencillo, pero estoy un poco confundido. ¿Empiezo haciendo una sustitución trigonométrica?

Answer 1

Dejemos que $I_k = \displaystyle \int^{2}_{-2} x^{2k} \sqrt{4-x^2} \, dx$ .

Dejemos que $u = x^{2k-1}$ y $dv = x\sqrt{4-x^2} \, dx$ .

Entonces tenemos $du = (2k-1)x^{2k-2} \, dx$ y

$\begin{align*} v &= \int x\sqrt{4-x^2} \, dx\\ &=\displaystyle -\frac{1}{3} (4-x^2)^{3/2}\\ &=-\frac{1}{3}(4-x^2)\sqrt{4-x^2}\end{align*}$

Aplicación de la integración por partes $\left (\int u \, dv = uv - \int v \, du \right )$ :

$$\begin{align*} I_k&= \left [ x^{2k-1} \times -\frac{1}{3}\overbrace{(4-x^2)^{3/2}}^{\text{this term becomes 0}} \right ]^{2}_{-2} + \frac{1}{3}(2k-1)\int^{2}_{-2} x^{2k-2}(4-x^2)\sqrt{4-x^2} \, dx\\ &= 0 + \frac{1}{3}(2k-1)\int^{2}_{-2}4x^{2k-2}\sqrt{4-x^2} - x^{2k}\sqrt{4-x^2} \, dx\\ &= \frac{4}{3}(2k-1)\overbrace{\int^{2}_{-2}4x^{2k-2}\sqrt{4-x^2} \, dx}^{I_{k-1}} - \frac{1}{3}(2k-1) \overbrace{\int^{2}_{-2} - x^{2k}\sqrt{4-x^2} \, dx}^{I_k}\\[10pt] \therefore 3I_k &= 4(2k-1)I_{k-1} - (2k-1)I_{k}\\\\ \end{align*}$$

La reordenación da lugar a $I_k = \displaystyle \frac{4k-2}{k+1}I_{k-1}$ Así que

$$C_k = \displaystyle \frac{4k-2}{k+1}.$$

Answer 2

Me llevó un poco de tiempo revisar esto, pero aquí hay un enfoque utilizando la sustitución que había propuesto en los comentarios. Aplicando $\ \sin\theta = \frac{x}{2}$ tenemos

$$\int_{-2}^{2} x^{2k} \ \sqrt{4-x^2} \ dx \ \rightarrow \ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2^{2k} \cdot \sin^{2k}\theta \cdot (2 \cos\theta) \cdot (2 \cos\theta \ d\theta )$$

$$= \ 4^{k+1}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k}\theta \ \cos^2\theta \ d\theta \ = \ 4^{k+1}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k} \theta \ - \ \sin^{2k+2} \theta \ d\theta \ ,$$

habiendo aplicado la Identidad Pitagórica en esta última etapa. Utilizaré el resultado (que no derivaré aquí)

$$ \ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k}\theta \ d\theta \ = \ \frac{\sqrt{\pi} \cdot \Gamma(k+\frac{1}{2})}{\Gamma(k+1)} \ = \ \frac{\sqrt{\pi} \cdot (\frac{2k-1}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi})}{k!} $$

$$= \ \frac{ ([2k-1] \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 1)}{2^k \cdot k!} \cdot \pi $$

$$\Rightarrow \ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2k} \theta \ - \ \sin^{2k+2} \theta \ d\theta \ = \ [ \frac{ ([2k-1] \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 1)}{2^k \cdot k!} - \frac{ ([2k+1] \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 1)}{2^{k+1} \cdot (k+1)!} ] \cdot \pi$$

$$= \ \frac{[ \ 2(k+1) \ - \ (2k+1) \ ] \cdot ([2k-1] \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 1)}{2^{k+1} \cdot (k+1)!} \cdot \pi \ = \ \frac{ [2k-1] \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 1}{2^{k+1} \cdot (k+1)!} \cdot \pi \ .$$

Nuestra integral original es entonces

$$\int_{-2}^{2} x^{2k} \ \sqrt{4-x^2} \ dx \ = \ 4^{k+1} \cdot \frac{ [2k-1] \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 1}{2^{k+1} \cdot \ (k+1)!} \cdot \pi $$

$$\Rightarrow \ C_k \ = \ \frac{4^{k+1} \cdot \frac{ [2k-1] \ \cdot \ [2k-3] \ \cdot \ \ldots \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 1}{2^{k+1} \cdot \ (k+1)!} \cdot \pi}{4^k \cdot \frac{ [2k-3] \ \cdot \ \ldots \ \cdot \ 3 \ \cdot 1}{2^k \ \cdot \ k!} \cdot \pi} \ = \ \frac{4 \cdot (2k-1)}{2 \cdot (k+1)} \ = \ \frac{2 (2k-1)}{k+1} \ . $$