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$$ \oint _{|z|=1} \frac{\log\ |1-z|}{z}dz $$ Mi intento $$ I=\oint _{|z|=1} \frac{\log\ |1-z|}{z}dz $$ $$z=e^{i\theta} \Rightarrow dz =i e^{i\theta}d\theta$$ $$I=i \int_{0}^{2\pi} \log\ |1-e^{i\theta}|d\theta$$ $$\text{ define }\, f(z)= |1-z|$$ $f(0)=1$
Ahora, $f(z)=0$ nos da $z=1$.
Por la Fórmula de Jensen, $$\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \log\ |1-e^{i\theta}|d\theta = \log |f(0)|+\log(1)$$ $f(0)=1$ nos da, $$\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \log\ |1-e^{i\theta}|d\theta =0$$ $$I=0$$
En primer lugar, $\frac{\log\ |1-z|}{z}$ es integrable en $|z|=1$ (es continua salvo por una singularidad logarítmica en $z=1$)
$$\int _{|z|=1} \frac{\log\ |1-z|}{z}dz=i \Im(\int _{|z|=1} \frac{\log(1-z)}{z}dz)=\lim_{r\to 1} i\Im(\int _{|z|=r} \frac{\log(1-z)}{z}dz)=0$$ por el teorema integral de Cauchy (ya que $\frac{\log(1-z)}{z}$ es analítica para $|z|<1$)
Explique este paso $$\Im(\int _{|z|=r}\frac{\log(1-z)}{z}dz)= \lim_{r\to 1} \Im(\int _{|z|=r} \frac{\log(1-z)}{z}dz)$$. ¿Cómo podemos tomar el límite fuera de la integral cerrada?
Eliminar un pequeño trozo del círculo alrededor de $r$ (y $1$) la igualdad es obvia (por continuidad) y el trozo eliminado tiene una baja contribución porque nuestra función es integrable alrededor de $z=1$.
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@Sebastiano Gracias por la edición. Por favor responde.
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De nada....con mucha sinceridad no puedo :-(...solo había votado positivamente tu pregunta.