¿Cómo puedo escribir $B = \left\{\left[\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\right] \in \boxed{?}| \ldots\right\}$ con la notación adecuada

Question

Dejemos que $x \in X \subset \mathbb{R}^n$ , entonces defino un conjunto:

$$A = \{x \in X| 1^Tx = 0\}$$

Ahora supongamos que tengo otro elemento $y \in Y \subset \mathbb{R}^n_{+}$

Concateno $x,y$ en un solo vector y definir otro conjunto, poniendo condiciones en $y$ :

\begin{equation}B = \Bigg\{\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \en la caja de la caja de la caja de la caja de la caja de la caja. \begin{bmatrix}1^Tx = 0 \\ 1^Ty = 1 \end{bmatrix}\Bigg\}\end{equation}

¿Puede alguien rellenar el espacio en blanco $\boxed{?}$ . Supongo que $X \times Y$ pero sin confianza

¿Hay una mejor manera de escribir este conjunto $B$ ?

Answer 1

El producto cartesiano funcionará, pero hay que especificar cómo el vector concatenado está compuesto.

$$\left\{\vec z\in X{\times}Y ~\middle\vert~ \vec z=\vec x\Vert\vec y\,, \vec x\in X\,, \vec y\in Y\,,\mathbf 1^\top\vec x=1\,, \mathbf 1^\top\vec y=0\right\}$$

O más elegantemente: $$\left\{\vec x \Vert\vec y~\middle\vert~\vec x\in X\,, \vec y\in Y\,:\,\mathbf 1^\top\vec x=1\,, \mathbf 1^\top\vec y=0\right\}$$

Nota: las condiciones no están concatenadas, sino que la lista es conjuntiva.

Answer 2

¿Por qué no? Porque $X\times Y=\{(x,y): x\in X,\, y\in Y\}$ así que no importa qué conjunto sea $X$ o qué conjunto es $Y$ .