¿Puede el límite inferior de $\frac{d}{dx} \int^x_a f(t)dt = f(x)$ sea $-\infty$ ?

Question

Estoy estudiando por mi cuenta las matemáticas, basándome en el teorema fundamental del Cálculo, $$\frac{d}{dx} \int^x_a f(t)dt = f(x)$$ el límite inferior puede ser $-\infty$ ?

Answer 1

Sí, el límite inferior puede ser $-\infty$ pero sólo proporcionado la integral impropia resultante converge. Esto sólo significa que si se integra primero desde $a$ a $x,$ obtener esa respuesta, y luego dejar que $a \to -\infty,$ ese límite existe.

Supongo que $f(t)$ está definida y es continua (o suficientemente agradable) en $(-\infty,x).$

Answer 2

F(x) depende sólo de x y no de a.

Si f(t)=-t entonces $\frac{d}{dx} \int\limits^x_a (-t)dt = -\frac{x^2}{2}$ y el rebote inferior de esta función es $-\infty$ .