Cómo encontrar la solución para $n=2$ ?

Question

Dejemos que $f: \mathbb R^n \setminus \{0\} \to \mathbb R^n \setminus \{0\}$ ser una función que sólo depende de la distancia al origen, $f = f(r)$ , donde $r = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ .

He calculado

$$\Delta f = {n-1\over r}f_r + f_{rr}$$

y estoy tratando de determinar cuál $f$ satisfacer

$${n-1\over r}f_r + f_{rr}=0$$

Me integré y descubrí que

$$f(r) = K' r^{2-n} + K''$$

satisface esta ecuación.

Mi problema es: sé que para $n=2$ el logaritmo también satisface esta ecuación. Pero no sé cómo deducirlo de lo que he hecho hasta ahora.

Answer 1

No muestras tu razonamiento detallado, pero imagino que el penúltimo paso debió ser $$f'(r) = K_0 r^{1-n}$$ de la que se obtiene por integración indefinida $$f(r) = \frac{K_0}{2-n} r^{2-n} + K_1$$

Cuando $n\ne 2$ La división por $2-n$ se puede absorber en la constante arbitraria, pero para $n=2$ acabas dividiendo por cero y todo salta por los aires. Por lo tanto, necesitas un caso especial para integrar $r^{-1}$ y obtenemos $$f(r) = K_0 \log r + K_1$$

La norma $\int x^k\,dx = \frac{1}{k+1}x^{k+1} + K$ funciona sólo bajo la condición de que $k+1\ne 0$ .

El logaritmo que surge en el $k=-1$ puede parecer una discontinuidad extraña, pero en realidad es un bonito límite puntual de las otras integrales indefinidas, si sólo seleccionamos las constantes de integración adecuadas: $$\log x = \lim_{k\to -1} \left[\frac{x^{k+1}}{k+1}-\frac{1}{k+1}\right]$$

Sólo mira como un caso aislado porque para todos los demás exponentes podemos elegir la antiderivada tal que su valor en $0$ o $+\infty$ es $0$ -- pero esa opción no está disponible para el logaritmo.