Demostrar que $0<\sum_{i=2}^n\ (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n!}$ para $x>0$

Question

Hasta ahora, he intentado usar la inducción:

Sea P(n): $0<\sum_{i=2}^n\ (-1)^i \frac{x^{2i}}{2i!}$

Dejemos que $n=2$ . Por lo tanto, P(2): $\frac{x^4}{4!}>0$ para $x>0$ . Entonces, que P(k) sea verdadera (Hipótesis de Inducción). Ahora, demuestre la validez de P para n=k+1:

$P(k+1) : \sum_{i=2}^{k+1}\ (-1)^i\frac{x^{2i}}{2i!} = \sum_{i=2}^k\ (-1)^i\frac{x^{2i}}{2i!} + (-1)^{k+1}\frac{x^{2(k+1)}}{2(k+1)!} = \sum_{i=2}^k\ (-1)^i\frac{x^{2i}}{2i!} - (-1)^{k}\frac{x^{2(k+1)}}{2(k+1)!}$

Dejemos que $k=2m-1$ :

$\sum_{i=2}^k\ (-1)^i\frac{x^{2i}}{2i!} - (-1)^{k}\frac{x^{2(k+1)}}{2(k+1)!}=\sum_{i=2}^k\ (-1)^i\frac{x^{2i}}{2i!} + (-1)^{2m}\frac{x^{4m}}{4m!}$ que es $>0$ desde $\sum_{i=2}^k\ (-1)^i\frac{x^{2i}}{2i!}>0$ y $\sum_{i=2}^k\ (-1)^i\frac{x^{2i}}{2i!} + (-1)^{2m}\frac{x^{4m}}{4m!} > \sum_{i=2}^k\ (-1)^i\frac{x^{2i}}{2i!}$ para $x>0$ según la Hipótesis de la Inducción.

Estoy perdido para el caso en que $k=2m$ Me gustaría un poco de ayuda, por favor.

Answer 1

Esto no es cierto para cada $n$ . Por ejemplo, cuando $x=10$ y $n=5$ $$\sum_{i=2}^5(-1)^{i}\frac{10^{2i}}{(2i)!}=-\frac{707500}{567}<0 $$ Sin embargo, para un $x$ será cierto para un tamaño suficientemente grande $n$ . Esto se debe a que $\sum_{i=2}^n(-1)^{i}\frac{x^{2i}}{(2i)!}$ converge a $\cos x-1+x^2/2$ que es positivo para $x\neq 0$ y, por lo tanto, hay un $N\in\mathbb{N}$ tal que para $n\geq N$ podemos decir que $\sum_{i=2}^n(-1)^{i}\frac{x^{2i}}{(2i)!}>0$ . Tenga en cuenta la $N$ depende del valor de $x$ y no creo que haya uno independiente de $x$ .

Answer 2

$$S_n=\sum_{i=2}^n\ (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n!}=\sum_{i=0}^n\ (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n!}-\sum_{i=0}^2\ (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n!}$$ $$S_n=\frac{x^2-1}2+\sum_{i=0}^n\ (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n!}$$ Si conoces la función gamma completa e incompleta $$\sum_{i=0}^n\ (-1)^n \frac{x^{2n}}{2n!}=\frac{e^{-x^2}\,\, \Gamma \left(n+1,-x^2\right)}{2 \Gamma (n+1)}$$

$$S_n=\frac{1}{2} \left(e^{-x^2}\frac{ \Gamma \left(n+1,-x^2\right)}{\Gamma (n+1)}+x^2-1\right)$$ que, para un determinado $n$ o un determinado $x$ puede cancelar.

Como hizo @bjorn93, utilicemos $x=10$ y $n=5$ . $S_5$ se convertirá en negativo en cuanto $x>1.96259$ . Comprobación de $x=2$ tenemos $-\frac{4}{15}$