Describe las soluciones enteras no nulas de la ecuación $a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + e^3 + f^3 + g^3 =0$

Question

¿Puede alguien describir todas las soluciones enteras de la ecuación anterior tales que $abcdefg\neq 0$ ?

Answer 1

No creo que haya una forma conocida de describirlas todas, pero aquí encontrará algunas lecturas adicionales: http://mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html

Answer 2

Para la ecuación.

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3+x_5^3+x_6^3=x_7^3$$

Puedes escribir una fórmula bastante sencilla.

$$x_1=t^2-3(k+s)(p+t)-3p^2+2u$$

$$x_3=t^2-3(p+s)(k+t)-3k^2+2u$$

$$x_5=t^2-3(p+k)(s+t)-3s^2+2u$$

$$x_2=2t^2+3((k+s)(p-t)-2pt)+3p^2+u$$

$$x_4=2t^2+3((p+s)(k-t)-2kt)+3k^2+u$$

$$x_6=2t^2+3((p+k)(s-t)-2st)+3s^2+u$$

$$x_7=3(t^2-2(p+k+s)t+u)$$

donde,

$$u=3(p^2+k^2+s^2)$$

El cubo ciertamente se ve bien, pero prefiero resolver tales ecuaciones. Mira engorroso, pero la solución mucho más simple. La suma de los cubos y la cantidad de combinaciones.

Answer 3

Respecto a la ecuación, (a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + e^3 + f^3 = g^3 )

La ecuación anterior tiene la parametrización dada a continuación:

(a,b,c,d,e,f)^3=

[(6k^2+12k-18),(k^2-2k+49),(5k^2+38k+5),(8k^2+16k-24), (7k^2-14k-41),(10k^2+20k-30)]^3 = [(13k^2+22k+13)]^3= (g)^3

Para k=2 tenemos:

(30,49,101,40,-41,50)^3=(109)^3