¿Es monótono el producto de dos secuencias monótonas?

Question

Pregunta: ¿El producto de secuencias monótonas es monótono, T o F?

Solución incompleta: Hay cuatro casos a partir de considerar cada una de dos sucesiones monótonas, crecientes o decrecientes.

CASO I: Supongamos que tenemos dos secuencias monotónicamente decrecientes, digamos ${\{a_n}\}$ y ${\{b_n}\}$ . Entonces, $a_{n+1}\leq a_n$ y $b_{n+1}\leq b_n$ ; si $b_n\geq 0$ y $b_{n+1}\geq 0$ entonces $a_{n+1}b_{n+1}\leq a_{n}b_{n+1}\leq a_{n}b_{n}$ pero la desigualdad l-h-s, es decir, $a_{n}b_{n+1}\leq a_{n}b_{n}$ implica que debe $a_{n}\geq 0$ desde $b_{n+1}\leq b_n$ ya se ha supuesto, pero $a_{n}\geq 0$ no se ha supuesto. Entonces, ¿significa que dos secuencias monotónicamente decrecientes con requisitos de $a_{n}\leq 0$ desde $b_{n+1}\leq b_n$ ¿es un contraejemplo para "el producto de secuencias monótonas es monótono"?

¿En qué circunstancias el producto de secuencias monótonas es monótono, aunque no sea cierto para todos los casos? Y, ¿hay alguna prueba corta (general) sin necesidad de evaluar cada uno de los subcasos de los 4 casos?

Gracias, señor.

Answer 1

Un contraejemplo sencillo a "El producto de dos secuencias monótonas es una secuencia monótona" es el producto de la secuencia monótona $\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$ (que puede imaginarse como una secuencia de puntos en el $y$ ejes del gráfico de $f(x) =x$ ) consigo mismo. El producto de estas secuencias es de nuevo una secuencia vista como una serie de puntos en el $y$ eje de $f(x)=x^2$ y aumenta para $n>0$ pero disminuyendo para $n<0$ como puede comprobarse fácilmente. Esto demuestra que incluso cuando ambas secuencias son crecientes, su producto no tiene por qué ser monótono. Sin embargo, se puede comprobar fácilmente que si ambas secuencias son crecientes o decrecientes, y ninguna cambia de signo, su producto es monótono.

Answer 2

En general, la respuesta es no. Consulte $a_n = \left ( \frac{5}{4} \right )^n$ y $b_n = \frac{1}{n}$ . Entonces tenemos

\begin{eqnarray*} a_1b_1 & = & \frac{5}{4} \;\; = \;\; 1.25 \\ a_2b_2 & = & \frac{25}{32} \;\; \approx\;\; 0.781 \\ a_3b_3 & = & \frac{125}{192} \;\; \approx \;\; 0.651 \\ a_{10}b_{10} & \approx & 0.93 \\ a_{15}b_{15} & \approx & 1.894. \end{eqnarray*}

Por lo tanto, tenemos que ni $a_nb_n \leq a_{n+1}b_{n+1}$ para todos $n$ ni $a_n b_n \geq a_{n+1}b_{n+1}$ para todos $n$ .