Los clientes llegan a un banco a un ritmo medio de 20 por hora. la distribución de probabilidad exponencial describe el tiempo entre las llegadas de los clientes. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente llegue antes de 3 minutos que un cliente anterior? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el banco pase 6 minutos sin ningún cliente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Oli
Puntos
89
Tenemos que decidir entre minutos y horas para nuestra unidad de tiempo. Digamos que son minutos. Entonces el tiempo medio entre llegadas es $3$ minutos. O bien, dependiendo de la forma en que se le haya presentado la distribución exponencial, el tasa es $1/3$ .
Recordemos que una distribución exponencial con parámetro $\lambda$ tiene media $\frac{1}{\lambda}$ . Así que $\frac{1}{\lambda}=3$ y por lo tanto $\lambda=\frac{1}{3}$ .
Acaba de llegar un cliente. Deje que $X$ sea el tiempo de espera hasta que el siguiente llega el cliente. Entonces $X$ tiene una distribución exponencial con parámetro $\lambda=\frac{1}{3}$ . Para cualquier positivo $x$ , $$\Pr(X\le x)=\int_0^x \frac{1}{3}e^{-t/3}\,dt=1-e^{-x/3}.\tag{$ 1 $}$$
Ahora podemos responder a las preguntas. Es necesario interpretar, ya que hay algunas ambigüedades en las preguntas.
(a) Interprete la pregunta como si dijera: "El cliente Alicia acaba de llegar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un cliente que llegue más tarde que Alicia, pero no más de $3$ minutos después". Entonces queremos $\Pr(X\le 3)$ . Por $(1)$ Esto es $1-e^{-3/3}$ .
(b) Interprete la pregunta como que Alicia acaba de llegar, y queremos la probabilidad de que haya un hueco de al menos $6$ minutos hasta que llegue el siguiente cliente. Entonces queremos $\Pr(X\gt 6$ . Por $(1)$ Esto es $1-\Pr(X\le 6)$ que es $1-(1-e^{-6/3})$ .
Observación: La distribución exponencial es, en el mejor de los casos, un modelo burdo de la situación. Por un lado, los bancos cierran. Por otro, siempre hay una larga cola cuando uno tiene prisa.
