Límite del término general de una serie de potencias en un polo

Question

Dejemos que $\Omega = D(0,2)/\{\frac{1}{2}\}$ , donde $D(0,2)$ es un disco, $f$ holomorfo en $\Omega$ .

$\frac{1}{2}$ es un polo simple para $f$ con residuos $1$ , calcule $$ lim_{n \to \infty} \frac{f^{n}(0)}{2^{n}n!}$$

Observaciones : si $f(z) = \sum_{n}a_{n}z^{n}$ en $D(0,\frac{1}{2})$ entonces $a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}$ así que $ lim_{n \to \infty} \frac{f^{n}(0)}{2^{n}n!} = lim_{n \to \infty} a_{n}(\frac{1}{2})^{n}$ . Pero $\frac{1}{2}$ es un polo por lo que la serie no es convergente. ¿Cómo podemos proceder?

Answer 1

Sabemos que la parte principal de $f$ en $\frac12$ por lo que podemos restarlo para obtener

$$g(z) = f(z) - \frac{1}{z-\frac12},$$

que al eliminar la singularidad removible en $\frac12$ es una función holomorfa en $D(0,2)$ ,

$$g(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{g^{(n)}(0)}{n!}z^n$$

para $\lvert z\rvert < 2$ en particular la serie para $g\left(\frac12\right)$ converge, dando

$$\lim_{n\to \infty} \frac{g^{(n)}(0)}{2^n n!} = 0.$$

Queda por considerar la parte principal de $f$ en $\frac12$ ,

$$\begin{align} \frac{1}{z-\frac12} &= -2\frac{1}{1-2z}\\ &= -2 \sum_{n=0}^\infty 2^nz^n. \end{align}$$

Por lo tanto, tenemos $f^{(n)}(0) = g^{(n)}(0) -2^{n+1}n!$ y

$$\lim_{n\to\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{2^n n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{g^{(n)}(0)}{2^n n!} - 2 = -2.$$

Answer 2

En $\Omega$ , $\exists $ una función holomorfa $g(z)$ tal que $f(z) = \dfrac{g(z)}{(z-1/2)}$ donde $g(1/2) \neq 0$ . Entonces $g(z)$ puede representarse mediante una serie de potencias que convergen al menos en $D(0,2)$ y dada por $g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{g^{(n)}(0)}{n!} z^n$ .

Desde $g(z) = (z-1/2) f(z)$ obtenemos la siguiente relación funcional (para $ n\geq 1$ ) $g^{(n)}(z) = f^{(n)}(z) (z-1/2) + n f^{(n-1)}(z) \implies g^{(n)}(0) = (-1/2)f^{(n)}(0) + n f^{(n-1)}(0)$ .

A partir de la condición de residuo dada $\lim_{z \rightarrow 1/2} g(z) = 1$ . Por lo tanto, $1 = g(0) + \sum_{n=1}^{\infty} [n f^{(n-1)}(0)-\frac{1}{2}f^{(n)}(0)] \frac{1}{n!2^n}$ . Se puede comprobar que esto lleva a una serie telescópica y por lo tanto podemos escribir,

$ 1 = g(0) + \frac{1}{2} f(0) + \lim_{n \rightarrow \infty} (-1/2) \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!2^n}$ .

Desde $g(0) = -(1/2)f(0)$ ,

$ \implies \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!2^n} = - 2$ .