Cómo minimizar $\sum_{i=1}^p (y_i-x_i)^2$ con limitaciones $\sum_{i=1}^p y_i - 1 =0$ y $\forall i=\overline{1,p}:-y_i \le 0$ ?

Question

Dejemos que $x = (x_1,\ldots,x_p) \in \mathbb R^p$ . Estoy resolviendo el problema de optimización con restricciones

$$\begin{align*} \text{min} &\quad \sum_{i=1}^p (y_i-x_i)^2 \\ \text{s.t} &\quad \sum_{i=1}^p y_i - 1 &&=0\\ &\quad\forall i = \overline{1,p}: -y_i &&\le 0 \end{align*}$$

Mi intento:

Dejemos que $f(y) = \sum_{i=1}^p (y_i-x_i)^2$ , $h(y) = \sum_{i=1}^p y_i - 1$ et $g_i(y) = -y_i$ para todos $i = \overline{1,p}$ .

Tenemos $f,g_i$ son convexos y $h$ es lineal. Sea $\alpha =(1/p, \cdots, 1/p)$ . Entonces $h(\alpha)=0$ y $g(\alpha) <0$ para todos $i = \overline{1,p}$ . De ello se desprende que se cumple la condición de Slater. Por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker, tenemos $$\begin{aligned} \begin{cases} \forall i = \overline{1,p}:\mu_i &\ge 0 \\ \forall i = \overline{1,p}: g_i(y) &\le 0\\ h(y) &=0 \\ \forall i = \overline{1,p}:\mu_i g_i(y)&=0 \\ \nabla f (y)+ \lambda\nabla h (y)+ \mu_i \nabla g_i (y) &=0 \end{cases} &\iff \begin{cases} \forall i = \overline{1,p}:\mu_i &\ge 0 \\ \forall i = \overline{1,p}:-y_i &\le 0\\ \sum_{i=1}^p y_i - 1&=0 \\ \forall i = \overline{1,p}: -\mu_i y_i &=0 \\ \forall i = \overline{1,p}: 2(y_i - x_i) +\lambda - \mu_i &= 0 \end{cases} \\ \end{aligned}$$

Entonces estoy atascado en la resolución del último sistema de ecuaciones.

¿Cómo puedo proceder para solucionarlo? Muchas gracias.

Answer 1

Tu problema se puede reescribir como

$$\begin{alignat*}{3} \arg \min_{x} & \quad & \frac{1}{2} \left\| y - x \right\|_{2}^{2} \\ \text{subject to} & \quad & y \succeq 0 \\ & \quad & \boldsymbol{1}^{T} y = 1 \end{alignat*}$$

Entonces es el mismo problema que en Proyección ortogonal sobre la unidad simple .