¿Bajo qué condiciones una colección finita de subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita tiene un complemento simultáneo?

Question

Me encontré con esta pregunta.

¿Bajo qué condiciones una colección finita de subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita tiene un complemento simultáneo?

Definición: Si $M$ es un subespacio de un espacio vectorial $V$ un complemento de $M$ es otro subespacio $V$ tal que $M \oplus N = V$ y $M \cap N = \{0\}$

Las pistas sugieren que "es fácil que varios subespacios tengan un complemento "simultáneo", es decir, un complemento en común. Es bastante fácil, pero eso no significa que siempre ocurra"

Debo estar perdiendo algo básico. Si $V = R^5$ , $M$ es el subespacio abarcado por $\{1,0,0,0,0\}$ , $\{0,1,0,0,0\}$ , $\{0,0,1,0,0\}$ entonces su único complemento es el subespacio abarcado por $\{0,0,0,1,0\}$ , $\{0,0,0,0,1\}$ ? ¿Cómo puede haber otro subespacio que no sea $M$ que tiene el mismo complemento?

así que ni siquiera puedo entender las pistas, y mucho menos descifrar la pregunta original...

Answer 1

Es necesario y suficiente que todos tengan la misma dimensión.

Dado que la suma de las dimensiones de un subespacio y un complemento del subespacio es la dimensión del espacio completo, los subespacios con un complemento común deben tener la misma dimensión.

A la inversa, si los subespacios tienen todos la misma dimensión, podemos elegir aleatoriamente y de forma independiente tantos vectores en el espacio como necesitemos para la dimensión del complemento. En cada paso y para cada subespacio, el espacio abarcado por el subespacio y los vectores elegidos hasta ahora es un conjunto de medida cero, por lo que la probabilidad de que elijamos un vector que se encuentre en uno de estos espacios es $0$ . Por lo tanto, con probabilidad $1$ elegimos vectores que abarcan un complemento de cada uno de los subespacios. Como algo que se puede elegir con probabilidad $1$ debe existir, basta con que los subespacios tengan todos la misma dimensión.