Si $B$ es un colector y $A\subseteq B$ es un submanifold regular de $B$ entonces el mapa de inclusión $i:A\to B$ es una incrustación y, por tanto, es suave.
Si $B$ es un colector, y $A\subseteq B$ es un subconjunto abierto de $B$ entonces cómo justificamos que el mapa de inclusión $i:A\to B$ suave sin usar ese $i$ es una incrustación (en el sentido de la geometría diferencial ; "incrustar" en el sentido de la topología elemental está dentro del ámbito de aplicación) o $A$ es un submanifold regular ? Además, no utilices gérmenes ni espacio tangencial, por favor.
Gracias de antemano.
Esta es mi respuesta:
Dejemos que $i: A \to B$ ser la inclusión para $A$ un subconjunto abierto de $B$ . Para mostrar $i$ es suave, debemos mostrar $i$ es continua (conocida por la topología elemental) y que para todo $a \in A$ hay gráficos $(C,\gamma)$ sobre $i(a)=a \in B$ y $(D,\delta)$ sobre $a \in A$ para lo cual $\gamma \circ i \circ \delta^{-1}: \gamma(i^{-1}(C) \cap D) = \gamma(C \cap D)$ $\to \gamma(C)$ es suave
Para cualquier $a \in A$ , elija $C=D=A$ y $\gamma=\delta=\text{id}_A$ función de identidad en $A$ . Entonces $\gamma \circ i \circ \delta^{-1}: \gamma(i^{-1}(C) \cap D) = \gamma(C \cap D)$ $\to \gamma(C)$ se convierte en $i: A \to A$ . Sabemos que el mapa de inclusión, con su rango restringido a su imagen que resulta ser su dominio, se convierte en el mapa de identidad en su dominio. Dado que el mapa de identidad en cualquier colector es suave (creo), $i: A \to A$ es suave. Esto satisface la definición de $i: A \to B$ para ser suave.
