¿Cómo fue esta aproximación de las $\pi$ involucran $\sqrt{5}$ llegó a?

Question

El artículo de la Wikipedia para Aproximaciones de $\pi$ contiene esta pequeña joya:

$$ \pi \approx \frac{63}{25}\times\frac{17 + 15\sqrt{5}}{7 + 15\sqrt{5}} $$

que está claramente en $\mathbb{Q[\sqrt{5}]}$. Wikipedia no es (actualmente) una referencia para esta aproximación. También me di cuenta de que cuando re-escritas para mover $\sqrt{5}$ fuera de el denominador, el número resultante en $\mathbb{Q[\sqrt{5}]}$ es

$$ \pi \approx \frac{31689 + 4725\sqrt{5}}{13450} $$ y los enteros involucrados no son más grandes que $5$ dígitos significativos. ¿Cómo crees que esta aproximación fue llegado, y cómo se podría ir sobre la búsqueda de una mejor aproximación usando más dígitos para los números enteros?

Ver también esta relacionada con la pregunta.

Answer 1

Cuando llegué por primera vez a través de su pregunta, pensé que era una versión moderna de la aproximación por alguien con un ordenador. Pero cuando d125q señaló que fue por Ramanujan, entonces me di cuenta de que él debe haber usado un método sistemático.

Una forma es utilizar un Ramanujan-Sato pi fórmula como,

$$\frac{1}{\pi} = \frac{1}{16}\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!^3}{n!^6}\frac{(42\phi-6)n+(5\phi-3)}{(2^{12}\phi^8)^n}\tag1$$

donde $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, y truncar como por número finito de términos. Por ejemplo, usando sólo $n=0\;\text{to}\;1$, y llegar a la recíproca, los rendimientos,

$$\pi \approx \frac{2^{13}}{3(-383+560\sqrt{5})}$$

Es bueno para el $10^{-7}$, y el siguiente es $10^{-10}$, pero hay una variedad infinita de $n$.

Hay tres fórmulas en Mathworld que el uso de una $\sqrt{5}$, incluyendo una versión de $(1)$. Y también hay una cuarta. Sin embargo, Ramanujan debe haber conocido otra fórmula porque no puedo obtener la aproximación en tu post por truncar cualquier de los cuatro.