Teorema de Lebesgue Hausdorff Banach para la clase Baire $1$ funciones en $\mathbb{R}^\omega$

Question

Un teorema de Lebesgue, Hausdorff y Banach dice lo siguiente (Kechris' Teoría descriptiva clásica de conjuntos , p. 192):

Dejemos que $X$ sea un espacio metrizable separable y $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ ser un $\boldsymbol{\Sigma}_2^0$ -función medible, entonces $f$ es el límite puntual de una secuencia de funciones continuas.

El teorema puede extenderse a funciones con codominio $\mathbb{R}^n$ para cada $n\in\mathbb{N}$ . Mis preguntas son:

1. ¿Se cumple este teorema para funciones con codominio $\mathbb{R}^\omega$ ?
2. ¿Existe un contraejemplo de $\boldsymbol{\Sigma}_2^0$ -función medible $f:\mathbb{R}^\omega\rightarrow\mathbb{R}^\omega$ que es no ¿Límite puntual de una secuencia de funciones continuas?

Gracias.

Answer 1

¿Es cierto que el enunciado puede extenderse a funciones con codominio $\mathbb{R}^\omega$ .

Supongamos que tenemos $f:\mathbb{R}^\omega\rightarrow\mathbb{R}^\omega$ que es $\boldsymbol{\Sigma}_2^0$ -medible, entonces en particular las funciones $f^n:\mathbb{R}^\omega\rightarrow\mathbb{R}$ con $f^n(x)=f(x)(n)$ son $\boldsymbol{\Sigma}_2^0$ -Medible.
Aplicando el teorema de Lebesgue, Hausdorff y Banach tenemos que para cada $n$ existe una secuencia $(g_m^n)_{m\in\omega}$ de funciones de $\mathbb{R^\omega}$ en $\mathbb{R}$ tal que $g_m^n \longrightarrow g^n$ en punto como $m\rightarrow \infty$ .
Ahora bien, si consideramos la secuencia $(g_m)_{m\in\omega}$ de funciones funciones de $\mathbb{R^\omega}$ en $\mathbb{R}^\omega$ con $g_m(x) = (g_m^n(x))_{n\in\omega}$ entonces tenemos que todos son continuos y convergen puntualmente a $f$ .