¿Polinomio cuártico que toma infinitos valores racionales cuadrados?

Question

Me preguntaba si el valor de $$P(x)=x^4-6x^3+9x^2-3x,$$ es un cuadrado racional para infinitos valores racionales de $x$ . ¿Existe un método general para comprobar esto para un polinomio (en una variable)? Si no es así, ¿cómo se podría averiguar esto?

Answer 1

Si tu polinomio cuaternario se convierte en un cuadrado,

$$F(x) = z^2$$

tiene un punto racional inicial, entonces hay una transformación biracional que puede transformar esto a la forma normal de Weierstrass de una curva elíptica. Sin embargo, si tiene prisa por aprender un método sencillo (conocido desde Fermat), una forma es ésta: Usando cualquier solución inicial no nula $x_0$ hacer la transformación,

$$x = y+x_0\tag1$$

Para su curva, tenemos $x_0 = 1$ y me sale,

$$F(y) = y^4-2y^3-3y^2+y+1$$

Supongamos que es igual a un cuadrado,

$$y^4-2y^3-3y^2+y+1 = (ay^2+by+c)^2\tag2$$

Expandir, luego recoger las potencias de $y$ para obtener el formulario,

$$p_4y^4+p_3y^3+p_2y^2+p_1y+p_0 = 0\tag3$$

donde el $p_i$ son polinomios en $a,b,c$ . Entonces resuelve el sistema de tres ecuaciones $p_2 = p_1 = p_0 = 0$ utilizando el tres incógnitas $a,b,c$ para eliminar el $y^2, y^1, y^0$ términos. Uno termina con,

$$105/64y^4+3/8y^3=0$$

Así, $y =-8/35$ o,

$$x = y+x_0 = -8/35+1 = 27/35$$

y tienes un nuevo punto racional $x_1 = 27/35$ . Utiliza esto en $(1)$ ,

$$x = y+27/35$$

y repite el procedimiento. Entonces,

$$x_2 = 3\times 4286835^2/ 37065988023371$$

Repetirlo ad infinitum se encuentra un número infinito de puntos racionales $x_i$ .