Si $\displaystyle f(x) = \lim_{n \to \infty} ((\cos x )^n + (\sin x)^n))^{1/n}$ . Entonces $_0 ^{\pi /2}\int f(x).dx$ ¿es?

Question

$\displaystyle f(x) = \lim_{n \to \infty} ((\cos x )^n + (\sin x)^n))^{1/n}$ . Entonces $\int _0 ^{\pi /2} f(x)\,dx$ ¿es?

He procedido intentando resolver el límite primero ya que la integral de la función con las potencias es muy difícil de resolver pero incluso usando l'hospital dos veces (después de tomar el log) no soy capaz de resolver el límite. ¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

$\lim (a^{n}+b^{n})^{1/n}=\max \{a,b\}$ para cualquier $a , b>0$ lo que hace que la pregunta sea muy fácil de responder. Para demostrarlo toma $a<b$ y escribir $(a^{n}+b^{n})^{1/n}=a(1+(b/a)^{n})^{1/n}$ ; utilizar el hecho de que $\log(1+x)$ se comporta como $x$ para $x$ pequeño.

Answer 2

Para los números $a,b \ge 0$ tenemos

$(a^n+b^n)^{1/n} \to \max \{a,b\}$ como $n \to \infty.$ . Por lo tanto,

$f(x)= \max \{ \cos x, \sin x\}$ para $x \in [0, \pi/2].$ Esto da

$f(x)= \cos x$ $x \in [0, \pi/4]$ y $f(x)= \sin x$ para $ x \in [\pi/4,\pi/2].$

Answer 3

$$f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}\bigg((\cos x)^n+(\sin x)^n\bigg)^{\frac{1}{n}}$$

$$=\left\{\begin{matrix} \lim_{n\rightarrow \infty}\cos x\bigg[(\tan x)^n+1\bigg]^{\frac{1}{n}}=\cos x\;, \displaystyle x\in \bigg(0,\frac{\pi}{4}\bigg) & \\\ \lim_{n\rightarrow \infty}\sin x\bigg[(\cot x)^n+1\bigg]^{\frac{1}{n}}=\sin x\;, \displaystyle x\in \bigg(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\bigg) & \end{matrix}\right.$$

$$\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}f(x)dx = \int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos xdx +\int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\sin xdx$$