Demostración de que la exponencial de una derivación es un automorfismo sobre un anillo formal de series de potencias

Question

Dejemos que $R$ ser un $\mathbb{Q}-$ álgebra y que $D_0: R \to R$ sea alguna derivación no trivial sobre $R$ . Además, dejemos que $R[[T]]$ sea un anillo formal de series de potencia. Definimos $D$ - extensión de $D_0$ en $R[[T]]$ como $D\Big(\sum_{i=0}^\infty r_i T^i\Big) = \sum_{i=0}^\infty D_0(r_i)T^i.$

Definimos exponencial de derivación $\exp TD: R[[T]] \to R[[T]]$ como $ \exp TD(g) = \sum_{p\in\mathbb{N}_0} \frac{1}{p!}D^p(g)T^p$ para $g \in R[[T]]$ . Ahora quiero demostrar que $\exp TD$ es un automorfismo del anillo $R[[T]].$ Demostrando que $\exp TD(f + g) = \exp TD(f) + \exp TD(g)$ es fácil utilizando la aditividad de $D_0$ . También pude demostrar que $\exp TD(fg) = \exp TD(f)\exp TD(g)$ utilizando las propiedades del producto de Cauchy. También podemos demostrar que la identidad de la multiplicación es mapeada sobre sí misma. Así que podemos ver que $\exp TD$ es un endomorfismo de $R[[T]]$ .

Quiero demostrar la biyectividad de $\exp TD$ demostrando que para cada $f \in R[[T]]$ existe $\exp TD^{-1}$ . De hecho, quiero demostrar que $\exp TD \circ \exp -TD = \exp -TD \circ \exp TD = $ id $_{R[[T]]}$ . Con esos cálculos tengo algunos problemas. Por ejemplo, cómo demostrar que $\sum_{p\in\mathbb{N}_0} \frac{1}{p!}D^p\Big(\sum_{q\in\mathbb{N}_0} \frac{1}{q!}D^q(f)(-T)^q\Big)T^p = \sum_{p\in\mathbb{N}_0} \frac{1}{p!}\Big(\sum_{q\in\mathbb{N}_0} \frac{1}{q!} D^{p+q}(f)(-T)^q \Big)T^p = f$ ? Le agradecería que me diera alguna pista.

Answer 1

Tienes razón en que la inversa de $\exp TD$ es $\exp (-T)D$ que envía $g$ a $\sum_{p \in \Bbb N_0} \frac 1{p!} D^p(g)(-T)^p$ .

Para concluir su prueba, sólo necesita la siguiente identidad: $$\sum_{p + q = n} \frac 1{p!q!}(-1)^q = \begin{cases}1, &\textrm{if }n = 0;\\0, &\textrm{if }n > 0.\end{cases}$$ Esta identidad se hace evidente cuando se multiplica por $n!$ que se convierte en $\sum_{p + q = n}\binom n q (-1)^q = (1 - 1)^n$ .