Núcleo de operadores compactos

Question

Dado que un operador compacto $K$ en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita $H$ no puede ser invertible, el espectro de $K$ debe contener cero $0\in \mbox{sp}(K)$ . Sin embargo, $K$ puede ser inyectiva (por ejemplo, si $K$ es estrictamente positivo). Por lo tanto, todos los elementos del espectro $\mbox{sp}(K)$ son valores propios de $K$ , excepto quizás el cero. ¿Es esto cierto? ...Estoy un poco confundido sobre esto, ya que siempre he oído que todos los elementos del espectro de un operador compacto deben ser valores propios.

Answer 1

Todos los distinto de cero los puntos del espectro de un operador compacto son valores propios, sí, y, sí, en un espacio de Hilbert de dimensión infinita $0$ está siempre en el espectro, siendo un punto de acumulación del espectro no nulo.

$0$ puede ser o no un valor propio, dependiendo del operador. El operador en $\ell^2$ que envía $e_n\to e_n/n$ es compacto, y $0$ no es un valor propio, aunque $0$ está en el espectro. Y también es fácil hacer operadores compactos con $0$ como un valor propio.

(... pero esto debería trasladarse a Math Stack Exchange...)