Dejemos que $\frac{a}{b},\frac{c}{d}\in \mathbb{Q}$ . demostrar que el producto está bien definido

Question

Tenemos que $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a'}{b'}\cdot\frac{c'}{d'}$ que se puede reescribir como $\frac{ac}{bd} = \frac{a'c'}{b'd'}$ y de nuevo como $(ac)(b'd') = (bd)(a'c').$

Si $\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}$ y $\frac{c}{d} = \frac{c'}{d'}, $ entonces $ab' = ba'$ y $cd' = dc'.$

$= (ab')(dd') = (ba')(dd')$ y $(cd')(bb') = (dc')(bb')$

$= (ab')(dd')(cd')(bb') = (ba')(dd')(dc')(bb')$ al multiplicar las dos ecuaciones.

Aquí es donde me quedé atascado. Intentaba que la ecuación final fuera igual a $(ac)(b'd') = (bd)(a'c')$ para demostrar que la multiplicación está bien definida, pero no estoy seguro de cómo llegar allí desde donde estoy o si estoy pensando en esto mal para empezar.

Answer 1

Tienes razón en que tienes que demostrar que $(ac)(b'd')=(bd)(a'c')$ pero lo estás complicando demasiado. Por definición,

$$\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} \: \: \text{and} \:\: \frac{c}{d} = \frac{c'}{d'}, $$

significa que $ab' = ba'$ y $cd' = dc'$ . Multiplicando estas dos ecuaciones (es decir, la izquierda por la izquierda y la derecha por la derecha) se obtiene simplemente $(ac)(b'd')=(bd)(a'c')$ que es lo que estás buscando.

Answer 2

Puedes decir simplemente: $$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}$$ que siempre se verifica. Para la hipótesis realizada $\left (\frac{a}{b}=\frac{a_1}{b_1}, \frac{c_1}{d_1}=\frac{c}{d}\right)$ llegamos a: $$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a_1}{b_1}\cdot\frac{c_1}{d_1}$$