El teorema al que me refiero dice: para cualquier $f, g$ existe $q, r$ tal que $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$ con el grado de $r$ menos que el grado de $g$ si $g$ es mónico.
El libro que estoy usando comenta que se puede demostrar vía inducción sobre el grado de $g$ pero deja la prueba al lector. Por desgracia, este lector no es lo suficientemente inteligente como para conseguirlo.
El caso base está bastante claro, pero después estoy completamente atascado. ¿Alguna pista?
Sugerencia $ $ Si $\, f- g\,h\, $ tiene $\,\deg \ge g\,$ y luego restar $\, c\:x^i\:g\ $ por lo que al matar el coeficiente principal se obtiene un polinomio de menor grado de la misma forma $\, f - g\ h'.\, $ Nota: esto induce en $\,\deg f,\,$ no en $\,\deg g$ .
Nota: $ $ Este método funciona $\rm\color{#0a0}{universally}$ para matar el coef principal del dividendo porque el coef principal del divisor $\,g,\,$ es una unidad (invertible) por lo que es un divisor de $\rm\color{#0a0}{every}$ coeficiente, por lo que siempre es posible escalarlo para que coincida con el coef de plomo del divisor. Sin embargo, si el coeficiente principal del divisor no es una unidad, esto no siempre es posible, por ejemplo, considere $\, x \div 2x\:$ en $\rm\:\mathbb Z[x].$
El idea clave de división de polinomios es la siguiente: si el divisor tiene invertible coef. de plomo $\,b\,$ (por ejemplo $\,b=1)\,$ y el dividendo tiene grado $\ge$ el divisor, entonces podemos $\rm\color{#c00}{scale}$ el divisor para que tenga el mismo grado y coef inicial que el dividendo, luego restarlo del dividendo, matando así el término inicial del dividendo; luego aplicar recursivamente este proceso a la parte restante del dividendo, que tiene menor grado (ya que matamos el término principal del dividendo), a saber
$$\begin{align} (\overbrace{a x^{\large k+n} + f}^{\large \rm dividend})\ -\ &\color{#c00}{\frac{a}b x^{\large k}} (\overbrace{b x^{\large n} + g}^{\large \rm divisor})\ =\ \overbrace{\color{#0a0}{f-\frac{a}b x^kg}}^{\large {\rm deg}\ <\ k+n}\\[.4em] \Longrightarrow\ \ \ \dfrac{a x^{\large k+n}+f}{bx^{\large n}+g}\, =\ &\color{#c00}{\frac{a}b x^{\large k}}\ \ +\ \underbrace{\dfrac{\color{#0a0}{f-\frac{a}bx^{\large k} g}}{bx^n + g}}_{\large\rm recurse\ on\ this}\end{align}\qquad\qquad$$
$$\require{enclose} \begin{array}{r} \color{#c00}{\frac{a}b x^k}\phantom{x^{k+n}+f\ } \\[0pt] {\Large \smash[t]{\overset{\rm\color{#90f}{tabularly}}{\leadsto^{\phantom{.}}}}}\quad\ bx^n\!+g\ \enclose{longdiv}{\ a x^{k+n}+f\phantom{x^kg}} \\[-3pt] \underline{ax^{k+n} + \frac{a}b x^k g} \\ \color{#0a0}{f\,-\,\frac{a}b x^k g} \end{array}\qquad\qquad\qquad$$
donde la segunda ecuación surge de la primera al dividir por $\,bx^n + g. \,$ La expresión final que aparece arriba muestra cómo se representa este único paso de división en el $\rm\color{#90f}{table\ form}.\,$ Este único paso de división (descenso) se itera hasta que alcancemos un dividendo que tenga menor grado que el divisor (lo que debe ocurrir ya que $\Bbb N$ está bien ordenado; de forma equivalente, podemos utilizar una prueba de fuerte inducción ).
Reformulado en el lenguaje de la eliminación gaussiana: $\,b\,$ siendo invertible en el monomio principal $\,b\:\!x^n\,$ del divisor significa que podemos usarlo como pivote para escalar y eliminar todos los monomios de grado superior. Este punto de vista pivotante se aclarará cuando se estudien los algoritmos de división multivariada (bases ideales estándar (Grobner) y ordenaciones monomiales) que son no lineal generalizaciones de la eliminación gaussiana, y algoritmos de unificación para sistemas de reescritura de términos (ecuacionales).
Nota: $ $ La división polinómica se puede generalizar a los divisores con coef de plomo no invertible, es decir.
Teorema (Algoritmo de división polinómica no mónica) $\ $ Dejemos que $\,0\neq F,G\in A[x]\,$ sean polinomios sobre un anillo conmutativo $A,$ con $\,a\,$ = coef de plomo de $\,F,\,$ y $\, i \ge \max\{0,\,1+\deg G-\deg F\}.\,$ Entonces
$\qquad\qquad \phantom{1^{1^{1^{1^{1^{1}}}}}}a^{i} G\, =\, Q F + R\ \ {\rm for\ some}\ \ Q,R\in A[x],\ \deg R < \deg F$
Prueba $\ $ Ver aquí para algunas pruebas.
También existen generalizaciones multivariadas del algoritmo de división polinómica como el Algoritmo de base de Gröbner. Esta perspectiva más general del proceso de descenso permite obtener más información, por ejemplo, en términos de ordenamientos monomiales.
SUGERENCIA:
Demostrar que en un dominio integral, si $f$ y $g$ son polinomios no nulos, entonces $\deg(fg) = \deg(f) + \deg(g)$ . Luego, una vez que se tiene el caso base y se trabaja con la hipótesis de inducción, se escriben los polinomios. Es decir, $f = a_n x^n + a_{n-2} x^{n-1} + \cdots + a_0$ , $g = b_m x^m + \cdots + b_0$ . Multiplicar $g$ por un múltiplo apropiado de una potencia de $x$ y restar. Utiliza la hipótesis de inducción.
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