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Soluciones reales para $\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{1+c^2+d^2}>|a-c|+|b-d|$

¿Existen números reales $a,b,c,d$ tal que $$\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{1+c^2+d^2}>|a-c|+|b-d|?$$

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bjorn93 Puntos 23

Considere los puntos $M=(a,b)$ y $N=(c,d)$ . Por la desigualdad del triángulo $$OM-ON\leq MN \leq MP+NP $$ que nos da $$\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2}\leq MN\leq |a-c|+|b-d| $$ Desde $$\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{1+c^2+d^2}<\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2} $$ tenemos la desigualdad inversa: $$\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{1+c^2+d^2}<|a-c|+|b-d| $$ enter image description here

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James Puntos 21

Empecemos con el caso $a=b=c=d$ . La desigualdad es falsa ya que el lado derecho es positivo, mientras que el lado izquierdo es negativo.

Si aumentamos o disminuimos $a$ o $b$ el lado derecho aumentará más rápido que el lado izquierdo, ya que $a$ y $b$ están bajo el signo de la raíz cuadrada en el LHS. La desigualdad siempre será falsa independientemente de cómo se ajusten esas variables.

Si aumentamos o disminuimos $c$ o $d$ El lado derecho aumentará y el lado izquierdo disminuirá. Por lo tanto, la desigualdad seguirá siendo siempre falsa.

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