¿Dos nociones de normas equivalentes?

Question

Tengo en mente dos afirmaciones que, tomadas sin mayor precaución, podrían parecer contradictorias:

• todas las normas son equivalentes en dimensión finita
• hay infinitas normas no equivalentes sobre los racionales (Ostrowski)

Así que debería estar perdiendo un punto. ¿Es que la primera afirmación sólo es válida para los reales o los complejos? (sin embargo tengo la impresión de que la prueba sigue siendo válida para los racionales)

¿O es más bien que las dos nociones de equivalencia (una con límites, continuidad de la identidad; la otra con igualdad hasta una cierta potencia) son diferentes? Caso en el que: ¿por qué son naturales estas dos, qué motiva una en unos casos y la otra en otros?

Answer 1

Una norma sobre un campo no es lo mismo que una norma sobre un campo como espacio vectorial sobre sí mismo.

Las definiciones son:

Dejemos que $F$ sea un campo. Una función $|\cdot|: F \times F \to F$ es una norma en $F$ si para todo $x,y \in F$ tenemos

• $\left|x\right| \ge 0 \text{ and } \left|x\right| = 0 \iff x = 0$
• $\left|xy\right| = \left|x\right|\left|y\right|$
• $\left|x+y\right| \le \left|x\right| + \left|y\right|$

$|\cdot|$ se denomina más comúnmente valoración en $F$ y $(F, \left|\,\cdot\,\right|)$ es un campo valorado.

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre $F$ con una valoración fija $|\cdot|$ . Una función $\|\cdot\| : V \times V \to F$ es una norma en $V$ si para todo $x,y \in V$ y escalares $\alpha \in F$ se mantiene:

• $\|x\| \ge 0 \text{ and } \|x\| = 0 \iff x = 0$
• $\|\alpha x\| = \left|\alpha\right|\|x\|$
• $\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|$

Por ejemplo, el $p$ -Valor absoluto de la adicción $\left|\,\cdot\,\right|_p$ es una valoración sobre $\mathbb{Q}$ pero no es una norma en el espacio vectorial $\mathbb{Q}$ sobre el campo valorado $(\mathbb{Q}, |\cdot|)$ donde $|\cdot|$ es el valor absoluto estándar en $\mathbb{Q}$ .

La afirmación de que "todas las normas de un espacio de dimensión finita son equivalentes" sólo es válida para las normas de un espacio vectorial, no para las valoraciones (como demuestra el teorema de Ostrowski).

Además, todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo valorado $(F, \left|\,\cdot\,\right|)$ no tienen que ser equivalentes si $(F, \left|\,\cdot\,\right|)$ no es completo como espacio métrico con la métrica $(x,y) \mapsto \left|x-y\right|$ .

Consideremos el espacio vectorial $\mathbb{Q}^2$ sobre el campo valorado $(\mathbb{Q}, |\cdot|)$ donde $|\cdot|$ es el valor absoluto estándar.

Definir dos normas en el espacio vectorial $\mathbb{Q}^2$ como $\|(x,y)\|_1 = \left|x\right| + \left|y\right|$ y $\|(x,y)\|_2 = |x + \sqrt{2}y|$ .

No son equivalentes. En concreto, dejemos que $(x_n)_n$ sea una secuencia de números racionales tal que $x_n \to \sqrt{2}$ . Entonces

$$\|(x_n,-1)\|_2 = |x_n - \sqrt{2}| \xrightarrow{n\to\infty} 0$$ pero $\|(x_n,-1)\|_1 \ge 1$ .

Este ejemplo está tomado de esta pregunta .