¿Por qué las ecuaciones diferenciales se llaman ecuaciones diferenciales?
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Russ Guill
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¿Por qué una ecuación diferencial se llama ecuación diferencial? He aquí una respuesta de forma conceptual. Estás acostumbrado a ver una curva descrita directamente como una función y=f(x). Pero cada punto de una curva tiene también una pendiente lineal. Si conoces Si conoces la pendiente en cada punto de una curva (y un punto de partida), entonces puedes reproducir la curva. Piensa que todas las pendientes lineales forman una envolvente. Ahora bien, si se conoce la pendiente de una curva en cada punto, entonces se puede puede formar una ecuación que relacione un delta x en un punto con un delta y en el punto, delta y = pendiente(x) * delta x. Los delta x y delta y son diferenciales, por lo que se tiene una ecuación que relaciona una diferencial en x en un punto a un diferencial en y en un punto - es decir, ¡una ecuación diferencial! Normalmente esta ecuación es reordenada como delta y/delta x = pendiente(x), o en el límite dy/dx = pendiente(x), o dy/dx = f(x), donde f(x) es la pendiente. Ahora bien, resolver una ecuación diferencial significa encontrar la curva original que tiene la pendiente especificada en cada punto. Esto se hace por integración. En una aproximación finita, con un punto de partida de cero, esto sería, por ejemplo, f(x)=delta x * pendiente(x1) + delta x * pendiente(x2) + delta x * pendiente(x3)... y dejar que delta x se reduzca hacia cero da una mejor aproximación. Pero esta fórmula es simplemente integración. La integración encuentra el área bajo una curva, pero el área bajo la curva es inherentemente la solución de una ecuación diferencial. La integración resuelve intrínsecamente alguna ecuación diferencial.
