¿Por qué es "para todos $x\in\varnothing$, $P(x)$" cierto, pero "no existe $x\in\varnothing$ tal que $P(x)$" falsa?

Question

Existe una $X\in A$ tal que $P(X)$. Al $A$ es el conjunto vacío, entonces esta declaración es falsa, porque no hay nada en $A$ que cuando está enchufado para $X$, hace $P(X)$ vienen de Verdad.

Sin embargo, cuando el cuantificador universal es la de uno, que significa "Para todos los $X\in A$" (que es el conjunto vacío), entonces la afirmación es verdadera !!

Cómo es eso ? .. Porque por el razonamiento que en la primera declaración, no son los valores de $X$ que hace $P(X)$ vienen de Verdad.

Me falta algo !!

(Estoy estudiando Ingeniería Eléctrica y auto estudio de velleman de cómo probar y los cuantificadores son ya patear mi trasero para simplificar las respuestas para mí si es posible :))

Answer 1

La negación de la afirmación "para todos $x\in X$, $P(x)$ sostiene que" es "no existe $x\in X$ tal que $P(x)$ no espera". Bien, entonces si $X$ está vacía, entonces no hay una sola $x\in X$ tal que $P(X)$ no es cierto, y por lo tanto es cierto que para todos los $x\in X$, $P(X)$ es cierto.

El confuso es que en general la validez de una declaración de la forma $\forall x\in X: P(X)$ no implica la existencia de una sola $x\in X$ que $P(X)$ mantiene. Sólo indica que si $x\in X$ $P(x)$ mantiene.

También se puede pensar en ello de esta manera: Supongamos que yo reclamo que todo en una caja en frente de usted es de color rosa. Puede demandarme si abrirlo y ver un plátano? Seguro, el plátano es amarillo, por lo que el juez va a decidir a su favor. Pero, puede demandarme si abrir la caja y ver nada allí? Bueno, no, no tienen nada de que quejarse: todo en el cuadro de hecho es color de rosa ya que nada en que no es color de rosa.

Answer 2

Ustedes no están solos, que se desconcierta con eso. Lewis Carroll (que fue un lógico por el comercio) también se opuso a la "vacuo de la verdad". La elección de la moderna lógica hace que es debido más a la conveniencia de dibujo implicaciones sin preocuparme de si algunos de los conjuntos que están vacías o no en cada paso, que a la intuición. Usted quiere ser capaz de combinar las frases "todo el mundo que no es demasiado corto puede escoger una manzana en este árbol" y "todo el mundo que no es demasiado alto será capaz de entrar en la bóveda" en "todo el mundo que no es ni demasiado corto ni demasiado alto será capaz de recoger la manzana y de ir a la bóveda, con ello," sin un fuerte pensamiento de cómo el umbral de alturas en los casos están relacionados unos con otros. Esto obliga a asignar el valor de "true" a la última declaración, incluso si usted necesita tener por lo menos 6 pies de altura para llegar a la manzana y no más de 5 pies de altura para entrar en la bóveda.

En general, vacuo uso de "para todos" no es raro en la vida real. Cuando el sheriff en un pequeño pueblo proclama públicamente que "Todos los criminales serán capturados y castigados!", las calles están vigiladas día y noche, y no hay crímenes en la ciudad, no le llamo mentiroso y el departamento de policía de un inútil desperdicio de dinero de los contribuyentes, sino todo lo contrario: se sospecha que él es así que incluso la a-ser-criminales creo que esta frase de su y abstenerse de fechorías.

Answer 3

En la lógica clásica, de una determinada estructura para algunos, el lenguaje, si algo no es falsa en la estructura, entonces es verdadero que hay. Por supuesto que se pueden hacer las cosas complicadas al considerar una estructura cuyo universo está hecho de las estructuras de una lengua en particular, y así sucesivamente y así sucesivamente. Así que vamos a quedarnos en el contexto de una estructura particular.

Algo es vacuously true en caso de que simplemente no puede ser falsa. Es decir, no hay ningún contraejemplo. Si no es falsa, tiene que ser cierto.

Así diciendo:"por cada $x\in\varnothing$ ..." no tiene un contraejemplo, y por lo tanto, es cierto; pero por otro lado,"existe $x\in\varnothing$ ..." es falsa, porque podemos demostrar que no hay tal $x$, y por lo tanto a la conclusión de una contradicción.

Answer 4

Deje $A$ el conjunto de los monos en la habitación, deje $P(x)$ denotar la frase "x es jugar al ajedrez".

$\forall x\in A, P(x)$ significa: "cada mono en la habitación está jugando al ajedrez", lo cual es cierto casi todo el tiempo, ya que la mayoría de las habitaciones son mono-libre.

$\exists x\in A, P(x)$ significa que "hay un mono en la sala de juego de ajedrez", que casi nunca es cierto.

Answer 5

Creo que estoy consiguiendo. Cómo acerca de la forma condicional de esto, sin embargo. Para todo X(Si x pertenece al conjunto vacío, entonces P(X)). Esto sólo es falsa cuando la hipótesis es Verdadera y la conclusión es Falsa. Pero dado que la hipótesis es siempre Falso, ya que no hay ninguno de los miembros del conjunto vacío, por lo tanto, la condición siempre es Verdadera. Gran . Ahora, cuando vamos a cambiar el cuantificador en el existencial. ¿Por qué está mal ?! La hipótesis es todavía mal porque ya no hay elementos en el conjunto vacío, entonces no hay aún algunos elementos , por lo Tanto no debe ser Cierto