Todo homomorfismo sobreyectivo es integral.

Question

Quiero demostrar que todo homomorfismo de anillo sobreyectivo es integral, es decir, $f: R \longrightarrow S$ es integral, donde $f$ está en

Definimos $s$ es integral sobre $R$ si existe un poli $p(x) \in R[x]$ tal que $p(s) = 0$ . Además, $f$ es integral si cada $s \in S$ es integral sobre $R$ .

Me parece que tengo que encontrar un polinomio adecuado, lo que debería ser trivial, pero no lo consigo.

¡Cualquier pista sería genial! Gracias de antemano.

Answer 1

Necesitamos un monic polinomio.

Pero ahora eso es fácil: el $R$ -estructura de módulo en $S$ viene dada por $f$ por $$r\cdot s:=f(r)s$$ Ahora, para cualquier $s\in S$ Hay un $r\in R$ tal que $s=f(r)$ Así que toma $$p(x) = x-r$$ (entendido como $1\cdot x-r\cdot 1$ ), que da $p(s)=s-r\cdot 1=s-f(r)=0$ .