La mayoría de los textos de introducción al análisis comienzan estudiando las propiedades de la recta real y (ya sea por hipótesis o por construcción) afirman que $\mathbb{R}$ es un campo completo y totalmente ordenado. Todo el análisis parece entonces fluir de estos preceptos. Por otro lado, los propios espacios métricos pueden ser completos y totalmente ordenados y para desarrollos de mayor dimensión se pueden considerar los espacios de Banach. Así que, aparte de por razones motivadoras y pedagógicas, ¿hay alguna necesidad de desarrollar realmente el análisis en el contexto de $\mathbb{R}$ / $\mathbb{R}^n$ en lugar de espacios métricos/Banach completos? ¿Hay resultados que sean exclusivos de $\mathbb{R}$ / $\mathbb{R}^n$ que no pueden desarrollarse en espacios métricos/Banach completos? Por supuesto, todo lo que es cierto sobre estos espacios abstractos es cierto sobre $\mathbb{R}$ / $\mathbb{R}^n$ pero, ¿se puede decir lo contrario?
Actualización: Desde que hice esta pregunta, he encontrado una referencia que da una muy buena comparación entre los espacios métricos/normados y $\mathbb{R}^n$ . Se encuentra en las páginas 150 - 152 del Análisis Clásico Elemental de Marsden (1ª Ed). Aunque el texto en sí no desarrolla todo con total generalidad (¡de ahí el título de Análisis Clásico!), los cuadros de estas páginas enumeran los resultados del texto e indican si se mantienen en espacios abstractos y señala qué restricciones hay que poner en un espacio para que un resultado dado sea válido.
