Dos definiciones del tensor de Weyl

Question

Estoy leyendo "Textbook in Tensor Calculus and Differential Geometry" de Prasun Kumar Nayak y me encontré con el tensor de Weyl/tensor de curvatura proyectiva $C_{kijl}$ . El libro afirma que $$C_{kijl}=R_{kijl}+\frac{1}{1-N}(g_{kj}R_{il}-g_{kl}R_{ij}) \tag{1}$$

Sin embargo, he encontrado en Wikipedia que $$C_{iklm}=R_{iklm}+\frac{1}{N-2}(R_{im}g_{kl}-R_{il}g_{km}+R_{kl}g_{im}-R_{km}g_{il})+\frac{1}{(N-1)(N-2)}R(g_{il}g_{km}-g_{im}g_{kl}) \tag{2}$$

No me pareció inmediatamente evidente que ambas cosas son equivalentes entre sí

Answer 1

La primera ecuación $C_{kijl}=R_{kijl}+\frac{1}{1-N}(g_{kj}R_{il}-g_{kl}R_{ij})$ no es el tensor de Weyl habitual. Es Tensor de curvatura proyectiva de Weyl y es diferente del tensor de Weyl. Se suele denotar por $W_2$ . Véase aquí la definición 2.1 .

En el libro de NAYAK debe leerse "tensor de curvatura proyectiva o tensor de Weyl" como " tensor de curvatura proyectiva o tensor proyectivo de Weyl ".