¿Cuándo puede $n^k+k$ ser un cuadrado perfecto?

Question

Para qué enteros positivos $k$ ¿existe un número entero positivo $n$ tal que $n^k+k$ ¿es un cuadrado perfecto?

Ciertamente, para todos $k$ tal que $k+1$ es un cuadrado perfecto, ya que podemos sustituir $n=1$ .

Para $k=2$ tenemos que $n^2+2$ es un cuadrado perfecto, pero modulo $4$ esto no puede ocurrir. Para otros valores pares de $k$ obtenemos que dos cuadrados perfectos deben diferir en $k$ que restringe la posibilidad de sólo $n=1$ Y eso es lo que hemos visto en el párrafo anterior.

Por lo tanto, el caso duro se mantiene con valores Impares de $k$ .

Answer 1

El caso $k=3$ pregunta sobre $y^2=n^3+3$ que es un caso especial de la ecuación de Mordell, $y^2=n^3+A$ . Se ha realizado una gran cantidad de trabajo sobre la ecuación de Mordell, y se han tabulado soluciones para grandes rangos de valores de $A$ por ejemplo, aquí . En ese sitio encontrará que se afirma que $y^2=n^3+3$ sólo tiene la solución $n=1$ .