$cos(x)$ y $sin(x)$ abarcan el espacio de la solución $V$ de $f''(x)=-f(x)$

Question

1. Demuestre que para $g(x)\in V$ , $(g(x))^2+(g'(x))^2$ es constante.
2. Demuestre que para $g(x)\in V$ con $g(0)=g'(0)=0$ , $g(x)=0$ para todos $x$ .
3. Demuestre que para $f(x)\in V$ , $f(x)=f(x)-f(0)\cos(x)-f'(0)\sin(x)$ .

Para (1.) tenemos $((g(x))^2+(g'(x))^2) = 2g'(x)(g''(x)+g(x)) = 2g'(x)(-g(x)+g(x)) = 2g'(x)(0) = 0$

Para (2.) no estoy seguro. ¿Simplemente introducimos $g'(0)$ y $g(0)$ en la ecuación que obtuvimos para (1.)?

Para (3.) tampoco estoy seguro. ¿Dónde están los $\cos$ y \sin ¿De dónde provienen las funciones del dólar?

Answer 1

El origen de la última expresión:

Dejemos que $h(x) = A\cos x + B\sin x$ . Entonces:

• $h''(x) = -h(x)$
• $h(0) = A; h'(0) = B$ así que $h(x) = h(0)\cos x + h'(0)\sin x$ . Espero que ahora entiendas el porqué de la tercera pregunta.

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1. esto está bien.

2. Exactamente: si $E(g) = g(x)^2 + g'(x)^2$ (no depende de $x$ según 1.) entonces $\forall x:g(x)^2 \le E(g) = 0 \implies \forall x: g(x) = 0$

3. Una pista: Intenta aplicar 2. a $$ g(x) = f(x) - f(0)\cos(x) - f'(0) \sin x $$