Demuestre que toda ecuación de la forma $$ax'' + b(x^2 - 1) x' + cx = 0$$ donde $a, b, c > 0$ puede transformarse en una ecuación de van der Pol mediante un cambio en la variable independiente.
No he podido encontrar esta sustitución. Si alguien pudiera ayudarme o dar una pista se lo agradecería.
Al dividir por $c$ y sacando un negativo del $x^2$ término obtenemos la ecuación:
$$\frac acx''-\frac bc(1-x^2)x'+x=0 $$
Ahora, dejemos que la variable dependiente (normalmente $t$ ) sea: $t=\sqrt{\frac ca} u$ .
Así que ahora las derivadas mediante la regla de la cadena serán:
$$ \sqrt{\frac ca}x' $$ Y $$ \frac cax'' $$
Por lo tanto, al conectar esto, vemos que el $a/c$ término se cancela y nos quedamos con:
$$ x''-\frac{b\sqrt c}{c\sqrt a}(1-x^2)x'+x=0 $$
Entonces dejemos que $\mu=\frac{b\sqrt c}{c\sqrt a} $ .
$$ x''-\mu(1-x^2)x'+x=0 $$
EDITAR
A partir del cambio de variable nuestras funciones son ahora $x\left(\sqrt{\frac ca} u\right)$ .
La notación primada puede ser un poco confusa a veces, así que lo que realmente tenemos es:
$$ \frac{d}{du}x\left(\sqrt{\frac ca} u\right)=x'\left(\sqrt{\frac ca} u\right)\frac{d}{du}\left(\sqrt{\frac ca} u\right)=\sqrt{\frac ca}x' $$
Entonces sólo hay que repetir este proceso para la segunda derivada para obtener la $c/a$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
