La regla de L'hopital y los antiderivados

Question

Deja el límite: $$\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L \in\mathbb{R}$$

Ahora, me han dicho aquí que ya que el límite existe y por la regla de L'hopital, podemos afirmar que:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = L $$

He aprendido que la regla de L'hopital sólo puede aplicarse para $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ casos, por lo que quiero entender cómo se puede afirmar esto arriba.

Gracias.

Answer 1

La regla de L'hopital sólo se aplica a los límites que implican formas indeterminadas, como usted ha señalado. La razón es que, $$\lim_{x\to\\c}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$

debe existir, es que sin esta condición, $f'$ o $g'$ puede presentar "oscilaciones no amortiguadas" como $x$ se acerca a $c$ . Lo que esto significa, es que hay ciertos casos en los que la expresión no se acerca a un límite como $x$ se acerca a $c$ porque oscila al acercarse a $c$ en lugar de llegar a un límite claramente definido.

Por ejemplo, considere el caso cuando $f(x) = \sin(x) + x$ , $g(x) = x $ y $c = \infty$ . Entonces, según l'hopital,

$$\lim_{x\to\\c}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to\\c}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{1 + cos(x)}{1}$$

Esta expresión claramente no se acerca a un límite como $x$ se acerca a $\infty$ ya que el coseno oscila entre 1 y -1. Sin embargo, $$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}$$ existe y se puede encontrar que es igual a 1.