Demostrar que el determinante de una matriz de transformación no depende de la base

Question

Dejemos que $T: \Bbb U \to \Bbb V$ sea una transformación lineal representable por $A \mathbf x$ en alguna base $B$ , donde $A$ es una matriz y $\mathbf x$ es miembro de $\Bbb U$ . $\ $ Demuestre que det(A) no depende de la base elegida.

Answer 1

Dejemos que $A'$ representar la transformación en alguna otra base $B'$ y que $V$ sea el cambio de matriz base de $B'$ a $B$ . Entonces tenemos que $$A = VA'V^{-1}$$ Toma el determinante de cada lado de esa ecuación.

Answer 2

Suponiendo que $B$ es invertible, la transformación global es $BAB^{-1}$ Combínalo con $\det(XY) = \det(X)\det(Y)$ demuestran que para un invertible arbitrario $C$ que $\det(CAC^{-1}) = \det(BAB^{-1})$ .