En el Álgebra Básica II de Nathan Jacobson si contiene un subconjunto abierto y cerrado diferente del conjunto vacío y X dice; por otro lado cuando queremos mostrar que Spec(R) es conexo los únicos elementos idempotentes son 0 y 1. Empezamos por dejar que Spec R es conexo con idempotentes no triveales ¿cómo podemos probarlo?
Respuesta
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Jens Alfke
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En primer lugar, demuestre que un anillo de la forma $R = R_1 \times R_2$ tiene un espectro desconectado demostrando que cualquier primo en $R$ es de la forma $R_1 \times \mathfrak{p}$ para $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R_2)$ o $\mathfrak{q}\times R_2$ para $\mathfrak{q} \in \operatorname{Spec}(R_1)$ y por lo tanto $\{\operatorname{Spec}(R_1) \times R_2\}\sqcup \{R_1\times \operatorname{Spec}(R_2)\}$ forma una desconexión de $\operatorname{Spec}(R)$ .
Entonces demuestre que dado un idempotente no trivial $e \in R$ se pueden encontrar anillos $R_1$ y $R_2$ tal que $R = R_1 \times R_2$ (intente utilizar los ideales $eR$ y $(1-e)R$ ) y tales anillos producto siempre tienen idempotentes no triviales.
Finalmente mostrar que un espectro desconectado implica la existencia de un idempotente no trivial utilizando algunas propiedades básicas de los conjuntos cerrados en el espectro. Si $\operatorname{Spec}(R) = V(I)\sqcup V(J)$ entonces desde $V(I) \cap V(J) = V(I+J) = \varnothing$ Debemos tener $I+J=R$ así que $1 = e + e' \in I+J$ . Más información: $V(I) \cup V(J) = V(IJ) = \operatorname{Spec}(R)$ así que $\forall \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R),$ $\mathfrak{p} \supset IJ$ y por lo tanto $IJ \subset \sqrt{(0)}$ el nilradical. Entonces se puede trabajar con $1=e+e'$ y el hecho de que $ee'$ es nilpotente para obtener un idempotente después de algún cálculo con coeficientes binomiales.
