Subgrupo impar de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$

Question

El grupo $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ actúa en $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ por multiplicación a la derecha (se pueden hacer las mismas cosas con la acción a la izquierda). Denoto por $H\subset \mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ al grupo de isotropía de $(1,\dots,1)$, que corresponde al grupo de matrices tal que cada columna tiene un número impar de valores impares.

Entonces $H$ tiene índice $2^n-1$ es maximal y si $n\ge 3$, está generado por permutaciones, matrices diagonales y dos matrices triangulares superiores simples con dos unos o uno dos fuera de la diagonal.

Llegué a este grupo con preguntas de geometría algebraica y mis preguntas son las siguientes:

¿Este grupo ha sido estudiado en algún lugar de la literatura? ¿Es útil para algo más? ¿Están los resultados (fáciles) sobre los generadores mencionados anteriormente escritos en algún lugar?

Answer 1

Tu acción es realmente una acción de ${\rm GL}(n,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).$ Tu subgrupo es la preimagen completa del estabilizador de un subespacio particular de $1$ dimensión. Los estabilizadores de subespacios de $1$ dimensión son subgrupos parabólicos maximales (del grupo finito) , y todos estos estabilizadores de (subespacios de $1$ dimensión) son conjugados. El campo con dos elementos es un poco diferente porque no hay una acción escalar de la cual preocuparse, así que los estabilizadores de vectores coinciden con los estabilizadores del subespacio de una dimensión correspondiente. Los parabólicos máximos de ${\rm GL}(n,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ que contienen al subgrupo de Borel natural son generados por el subgrupo de Borel y $n-2$ reflexiones generadoras naturales del grupo de Weyl. Tu estabilizador del subsapacio (visto en la imagen finita) queda sobre un subgrupo de Borel diferente, pero la matriz conjugante es clara.