Limitación de $\sum_{m=k}^{\infty} \frac{k}{m^2}$

Question

¿Es la serie $\sum_{m=k}^{\infty} \frac{k}{m^2}$ ¿acotado independientemente de k?

Answer 1

Escriba $\sum_{m=k}^{+\infty}\frac 1{m^2}\leqslant \sum_{m=k}^{+\infty}\frac 1{m(m-1)}$ que se comportan aproximadamente como $\frac 1k$ .

Answer 2

Creo que había que probar un límite uniforme, $k$ -indipendiente. Suponiendo que $k\geq 2$ que tenemos: $$\sum_{m=k}^{+\infty}\frac{k}{m^2}<k\int_{k-1}^{+\infty}\frac{dx}{x^2}=\frac{k}{k-1}\leq 2.$$

Answer 3

$\displaystyle\sum_{m=k}^{n}\frac{k}{m^2}=k\sum_{m=k}^{n}\frac{1}{m^2}\le k\sum_{m=k}^{n}\frac{1}{m(m-1)}=k\sum_{m=k}^{n}\left(\frac{1}{(m-1)}-\frac{1}{(m)}\right)=k\left(\frac{1}{(k-1)}-\frac{1}{(n)}\right)\le \frac{k}{k-1}\le 2$